Seja f: U subset R^2 R uma função diferenciável. Mostre, usando o fato que imagem inversa de valor regular é superfície, que o gráfico de f, G(f)=(x, y, f(x, y)):(x, y) in U é superfície regular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável f que vai de um conjunto aberto U no plano R^2 para os números reais R. O exercício pede para mostrar que o gráfico dessa função, que é o conjunto de pontos (x, y, f(x, y)), forma uma superfície regular. Para isso, vamos usar um conceito que diz que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície. Ou seja, vamos precisar entender sobre superfícies regulares, funções diferenciáveis e o que são valores regulares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície regular. Basicamente, é um conjunto de pontos no espaço que “parece” uma folha lisa em cada ponto, sem dobras ou quebras. Para ser uma superfície regular, a gente precisa que, perto de cada ponto, da pra descrever a superfície como a imagem de uma função diferenciável com derivadas contínuas.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o gráfico da função f. O gráfico G(f) é o conjunto de todos os pontos (x, y, f(x, y)) no espaço tridimensional R^3, onde cada ponto (x, y) do domínio U é mapeado para (x, y, f(x, y)). Queremos provar que esse conjunto forma uma superfície regular.

Passo 4

Vamos usar o fato que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície. Primeiramente, precisamos definir uma função que nos ajude a aplicar esse conceito. Vamos considerar a função F: R^3 R definida por F(x, y, z) = z - f(x, y).

Passo 5

O próximo passo é identificar quais são os valores regulares da função F. Um valor c é regular se o diferencial de F em qualquer ponto que mapeia para c é não nulo. Aqui, estamos interessados no nível c = 0, então precisamos verificar se 0 é um valor regular para F.

Passo 6

Calculamos o diferencial de F, que é o gradiente nabla F = ( -partial fpartial x, -partial fpartial y, 1 ). Para 0 ser um valor regular, esse gradiente não pode ser o vetor zero em nenhum ponto do gráfico. Como o último componente do gradiente é 1, ele nunca será zero. Portanto, 0 é um valor regular para F.

Passo 7

Como 0 é um valor regular para F, pelo teorema que diz que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície regular, o conjunto F^-1(0) é uma superfície regular. Mas F^-1(0) é exatamente o gráfico G(f), já que F(x, y, z) = 0 implica z = f(x, y).

Resposta

Assim, mostramos que o gráfico de f, G(f) = (x, y, f(x, y)) : (x, y) in U, é uma superfície regular.

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