Seja
uma função diferenciável. Mostre, usando o fato que imagem inversa de valor regular é superfície, que o gráfico de
é superfície regular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função diferenciável
que vai de um conjunto aberto
no plano
para os números reais
. O exercício pede para mostrar que o gráfico dessa função, que é o conjunto de pontos
, forma uma superfície regular. Para isso, vamos usar um conceito que diz que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície. Ou seja, vamos precisar entender sobre superfícies regulares, funções diferenciáveis e o que são valores regulares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície regular. Basicamente, é um conjunto de pontos no espaço que “parece” uma folha lisa em cada ponto, sem dobras ou quebras. Para ser uma superfície regular, a gente precisa que, perto de cada ponto, da pra descrever a superfície como a imagem de uma função diferenciável com derivadas contínuas.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o gráfico da função
. O gráfico
é o conjunto de todos os pontos
no espaço tridimensional
, onde cada ponto
do domínio
é mapeado para
. Queremos provar que esse conjunto forma uma superfície regular.
Passo 4
Vamos usar o fato que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície. Primeiramente, precisamos definir uma função que nos ajude a aplicar esse conceito. Vamos considerar a função
definida por
.
Passo 5
O próximo passo é identificar quais são os valores regulares da função
. Um valor
é regular se o diferencial de
em qualquer ponto que mapeia para
é não nulo. Aqui, estamos interessados no nível
, então precisamos verificar se
é um valor regular para
.
Passo 6
Calculamos o diferencial de
, que é o gradiente
. Para
ser um valor regular, esse gradiente não pode ser o vetor zero em nenhum ponto do gráfico. Como o último componente do gradiente é
, ele nunca será zero. Portanto,
é um valor regular para
.
Passo 7
Como
é um valor regular para
, pelo teorema que diz que a imagem inversa de um valor regular é uma superfície regular, o conjunto
é uma superfície regular. Mas
é exatamente o gráfico
, já que
implica
.
Resposta
Assim, mostramos que o gráfico de
,
, é uma superfície regular.