1. Seja f(x)=x^{2}+1. Calcule, usando a definição de derivada:
    a) f^{\prime}(0)
    b) f^{\prime}(1)
    c) f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+1 e pede para calcular a derivada usando a definição de derivada nos pontos 0, 1 e em x genérico. Para isso, vamos usar o conceito de derivada como limite do quociente de diferenças:
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Passo 2

Aplicamos essa definição ao ponto genérico x. Primeiro escrevemos o quociente de diferenças e simplificamos:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\bigl((x+h)^{2}+1\bigr)-\bigl(x^{2}+1\bigr)}{h} =\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\frac{2xh+h^{2}}{h} =2x+h.

Passo 3

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(x)=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.

Passo 4

Basta então avaliar em x=0 e em x=1:
  • Para x=0: f'(0)=2\cdot0=0.
  • Para x=1: f'(1)=2\cdot1=2.

Resposta

a) \,f'(0)=0
b) \,f'(1)=2
c) \,f'(x)=2x

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