Calcule as derivadas a seguir:
g(t)=4 \operatorname{sec} t+t \tan t

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
g(t)=4\operatorname{sec} t + t\tan t.
Aqui vamos usar a regra da soma de derivadas, a derivada de \operatorname{sec} t e a regra do produto para t\tan t.

Passo 2

Derivando o primeiro termo 4\operatorname{sec} t: sabemos que \frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t)=\operatorname{sec} t\tan t.
Logo,
\frac{d}{dt}\bigl(4\operatorname{sec} t\bigr) =4\,\frac{d}{dt}(\operatorname{sec} t) =4\operatorname{sec} t\tan t.

Passo 3

Derivando o segundo termo t\tan t pela regra do produto:
se u=t e v=\tan t, então \frac{d}{dt}(uv)=u'\,v + u\,v'.
Como u'=1 e v'=\operatorname{sec}^2 t, temos
\frac{d}{dt}(t\tan t) =1\cdot\tan t + t\cdot\operatorname{sec}^2 t =\tan t + t\operatorname{sec}^2 t.

Passo 4

Somando as duas derivadas, obtemos
g'(t) =4\operatorname{sec} t\tan t \;+\;\bigl(\tan t + t\operatorname{sec}^2 t\bigr) =4\operatorname{sec} t\tan t + \tan t + t\operatorname{sec}^2 t.

Resposta

g'(t)=4\operatorname{sec} t\tan t + \tan t + t\operatorname{sec}^2 t.

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