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Encontre as assíntotas verticais e horizontais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais da função $ f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} $. Para isso, vamos precisar saber o que são assíntotas e como identificá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre assíntotas verticais. Essas assíntotas aparecem onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero.
Olha só a função: $ f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} $. Aqui, temos denominadores com $ x $ e $ x^{2} $. A função não está definida quando $ x = 0 $, porque não dá pra dividir por zero.
Então, temos uma assíntota vertical em:
Passo 3
Agora, vamos procurar as assíntotas horizontais. Essas assíntotas mostram o comportamento da função quando $ x $ vai para o infinito positivo ou negativo.
Para achar isso, vamos olhar para os termos com maiores potências de $ x $ no numerador e no denominador. Primeiro, vamos reescrever a função de forma mais fácil de analisar:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador têm a maior potência de $ x $ igual a 2. Quando as potências são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente do maior termo no numerador dividido pelo do denominador.
Os coeficientes são ambos 1, então:
Resposta
A função $ f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} $ tem:
- Assíntota vertical em $ x = 0 $.
- Assíntota horizontal em $ y = 1 $.