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Encontre os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir em quais intervalos a função $ f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} $ está crescendo ou decrescendo. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente derivadas. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é positiva (crescendo) ou negativa (decrescendo).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, informa se a função está aumentando ou diminuindo em cada ponto.
A função é:
Vamos derivar termo por termo.
Passo 3
Derivando o primeiro termo, que é uma constante:
Derivando o segundo termo, $ \frac{1}{x} $, que é igual a $ x^{-1} $:
Derivando o terceiro termo, $ -\frac{1}{x^{2}} $, que é igual a $ -x^{-2} $:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas dos três termos:
Podemos simplificar colocando em evidência $ \frac{1}{x^{3}} $:
Passo 5
Agora, vamos analisar onde a derivada $ f’(x) $ é positiva ou negativa.
A função está crescendo quando $ f’(x) > 0 $ e decrescendo quando $ f’(x) < 0 $.
Vamos resolver a desigualdade $ \frac{2 - x}{x^{3}} > 0 $ e $ \frac{2 - x}{x^{3}} < 0 $.
Primeiro, identifiquemos os pontos onde a derivada muda de sinal, ou seja, onde $ 2 - x = 0 $ e $ x^{3} = 0 $.
Resolvendo $ 2 - x = 0 $:
E $ x^{3} = 0 $:
Então, temos pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = 2 $. Esses pontos dividem a linha dos números reais em três intervalos:
- $ x < 0 $
- $ 0 < x < 2 $
- $ x > 2 $
Passo 6
Vamos testar cada intervalo para ver o sinal da derivada $ f’(x) $.
Intervalo 1: $ x < 0 $
Escolha $ x = -1 $:
Escolha $ x = -1 $:
Como $ f’(-1) < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
Intervalo 2: $ 0 < x < 2 $
Escolha $ x = 1 $:
Escolha $ x = 1 $:
Como $ f’(1) > 0 $, a função está crescendo nesse intervalo.
Intervalo 3: $ x > 2 $
Escolha $ x = 3 $:
Escolha $ x = 3 $:
Como $ f’(3) < 0 $, a função está decrescente nesse intervalo.
Resposta
A função $ f(x) = 1 + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} $ é:
- Decrescente para $ x < 0 $ e $ x > 2 $.
- Crescente para $ 0 < x < 2 $.