Sendo F(x, y, z)=sin (x) i+cos (x- y) j+z k, calcule nabla cdot(nabla times G). [resp.: 0. ]

Passo 1

O enunciado pede para calcular a divergência do rotacional de um campo vetorial. O campo dado é F(x,y,z)=sin(x),i+cos(x-y),j+z,k. O conteúdo envolvido é o uso dos operadores diferenciais nabla, mais especificamente o rotacional (nablatimes F) e a divergência (nablacdot).

Passo 2

Em geral, para qualquer campo vetorial F com derivadas contínuas, vale a identidade
nablacdot(nablatimes F)=0
ou seja, a divergência de um rotacional é sempre zero.

Passo 3

Podemos confirmar calculando explicitamente. Primeiro, o rotacional de F:
nablatimes F= l(partial F3partial y-partial F2partial zr),i+ l(partial F1partial z-partial F3partial xr),j+ l(partial F2partial x-partial F1partial yr),k
Como
F1=sin(x), F2=cos(x-y), F3=z, temos:
nablatimes F=(0-0),i+(0-0),j+(-sin(x-y)-0),k=-sin(x-y),k

Passo 4

Agora, calculamos a divergência desse rotacional:
nablacdot(nablatimes F)=partialpartial x(0)+partialpartial y(0)+partialpartial z(-sin(x-y))=0+0+0=0

Resposta

0

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