Seja f(x)=11+x. Encontre:
Para quais números c é verdade que f(c x)=f(x) para dois números x diferentes?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=11+x e pede para achar quais valores de c fazem com que a equação f(cx)=f(x) tenha duas soluções x distintas. Para resolver, vamos igualar as duas frações e usar álgebra básica:

Passo 2

Escrevemos a igualdade
11+cx=11+x
Agora fazemos a multiplicação cruzada de denominadores (desde que 1+cx e 1+x sejam não nulos):
$$
1\cdot(1+x)=(1+cx)\cdot1
1cdot(1+x)=(1+cx)cdot1
1+x=1+cx
1+x=1+cx
x=cx
x
x-cx=0
x=cx
x(1-c)=0
$$

Passo 3

Dessa forma temos duas possibilidades:
  1. x=0
  2. 1-c)=0, ou seja, c=1.
    Se cneq1, a única solução é x=0, ou seja, só um x.
    Se c=1, a igualdade f(x)=f(x) vale para todo x (menos onde não está definida), garantindo infinitas soluções, logo pelo menos duas distintas.

Resposta

c = 1

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