Utilizando o método dos coeficientes a determinar, resolva a equação:
y^prime prime-4 y^prime+5 y=sen 2 x

Passo 1

Resumo da questão: Resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes y’’ − 4 y’ + 5 y = sen 2x. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar, em que primeiro encontramos a solução da parte homogênea e depois uma solução particular.

Passo 2

Para a solução homogênea, montamos a equação característica r^2 - 4r + 5 = 0. Resolvendo, obtemos r = 2 pm i. Assim, a solução homogênea é
yh(x) = e^2x(C1cos x + C2sin x)

Passo 3

Para a parte particular, fazemos o palpite yp(x) = Acos(2x) + Bsin(2x) já que o termo não-homogêneo é sin(2x). Calculamos as derivadas:
yp'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) e
yp''(x) = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x).

Passo 4

Substituindo na equação, obtemos:
yp'' - 4yp' + 5yp = (A - 8B)cos(2x) + (8A + B)sin(2x)
Igualando aos termos do lado direito sin(2x), formamos o sistema:
A - 8B = 0, 8A + B = 1
Resolvendo, achamos B = tfrac165 e A = tfrac865, de modo que
yp(x) = tfrac865cos(2x) + tfrac165sin(2x).

Resposta

y(x) = e^2x(C1cos x + C2sin x) + tfrac865cos(2x) + tfrac165sin(2x).

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