Seja
e
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá a função
(o mesmo que
) e pede para calcular a derivada
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função dada é
. - A pergunta é: calcular
(a derivada de em função de ).
Passo 2
Lembrete do conceito que vamos usar (definição de derivada): a derivada de uma função
num ponto
é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
O que isso significa, em palavras:
é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de
em
, ou a taxa instantânea de variação de
naquele ponto. Na prática, para calcular
substituímos
na expressão acima e calculamos o limite.
Passo 3
Aplicando a definição de derivada à função
, obtemos:
Passo 4
Usamos a identidade trigonométrica de soma de seno:
Substituindo na diferença do numerador:
Portanto o quociente fica
Passo 5
Passando ao limite e usando linearidade do limite (quando os limites existirem), temos
Aqui tratei
e
como constantes em relação a
, porque o limite é em
com
fixo.
Passo 6
Agora precisamos calcular os dois limites básicos que aparecem. Primeiro:
Prova (esqueminha clássico por desigualdades): para
vale a desigualdade geométrica
. Como
, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue que
. Para
negativo a razão tem o mesmo limite por simetria ímpar de
; assim o limite para
geral é
.
Passo 7
Segundo limite:
Prova: usar a identidade
. Então
Sabendo que
, o fator
quando
. O outro fator
. Portanto o produto tende a
, isto é
.
Passo 8
Substituindo os limites obtidos em
, obtemos o valor final do limite que define
. Ver a seção "