Seja f(x)=\operatorname{sen} x e g(x)=\cos x. Calcule:
f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\operatorname{sen} x (o mesmo que \sin x) e pede para calcular a derivada f'(x).
Informações relevantes:
  • A função dada é f(x)=\operatorname{sen} x.
  • A pergunta é: calcular f'(x) (a derivada de f em função de x).

Passo 2

Lembrete do conceito que vamos usar (definição de derivada): a derivada de uma função f num ponto x é o limite do quociente incremental quando o incremento tende a zero:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
O que isso significa, em palavras: f'(x) é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f em x, ou a taxa instantânea de variação de f naquele ponto. Na prática, para calcular f'(x) substituímos f na expressão acima e calculamos o limite.

Passo 3

Aplicando a definição de derivada à função f(x)=\sin x, obtemos:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}.

Passo 4

Usamos a identidade trigonométrica de soma de seno:
\sin(x+h)=\sin x\cos h+\cos x\sin h.
Substituindo na diferença do numerador:
\sin(x+h)-\sin x=\sin x(\cos h-1)+\cos x\sin h.
Portanto o quociente fica
\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}=\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}.

Passo 5

Passando ao limite e usando linearidade do limite (quando os limites existirem), temos
f'(x)=\lim_{h\to 0}\left[\sin x\cdot\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\frac{\sin h}{h}\right] =\sin x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}.
Aqui tratei \sin x e \cos x como constantes em relação a h, porque o limite é em h com x fixo.

Passo 6

Agora precisamos calcular os dois limites básicos que aparecem. Primeiro:
\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h}=1.
Prova (esqueminha clássico por desigualdades): para 0<h<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \cos h<\dfrac{\sin h}{h}<1. Como \lim_{h\to 0}\cos h=1, pelo teorema do confronto (squeeze theorem) segue que \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}=1. Para h negativo a razão tem o mesmo limite por simetria ímpar de \sin; assim o limite para h\to 0 geral é 1.

Passo 7

Segundo limite:
\lim_{h\to 0}\frac{\cos h-1}{h}=0.
Prova: usar a identidade \cos h-1=-2\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right). Então
\frac{\cos h-1}{h}=-2\cdot\frac{\sin^2\!\left(\dfrac{h}{2}\right)}{h} =-2\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{h}{2}\right)}{\tfrac{h}{2}}\right)^{2}\cdot\frac{h}{4}.
Sabendo que \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1, o fator \left(\dfrac{\sin(\tfrac{h}{2})}{\tfrac{h}{2}}\right)^{2}\to 1 quando h\to 0. O outro fator \dfrac{h}{4}\to 0. Portanto o produto tende a 0, isto é \lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}=0.

Passo 8

Substituindo os limites obtidos em \sin x\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{\cos h-1}{h}+\cos x\cdot\lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}, obtemos o valor final do limite que define f'(x). Ver a seção "

Resposta

f'(x)=\cos x

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