Seja R a região limitada pelas curvas y=x^2+1 e y=3-x^2.
(b) (1 ponto) Calcule a área da região R.

Passo 1

O exercício pede para calcular a área da região R limitada pelas curvas y = x^{2} + 1 e y = 3 - x^{2}. O conteúdo aqui é área entre duas curvas e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva é superior e depois montar e calcular a integral definida.

Passo 2

Para achar os pontos em que as duas curvas se cruzam, igualamos x^{2} + 1 = 3 - x^{2} e resolvemos para x:
x^2 + 1 = 3 - x^2 implies 2x^2 = 2 implies x^2 = 1 implies x = pm 1

Passo 3

Precisamos ver qual curva está acima entre x = -1 e x = 1. Calculamos a diferença das funções:
(3 - x^2) - (x^2 + 1) = 2 - 2x^2 Como esta expressão é não negativa para |x| \le 1, concluímos que y = 3 - x^{2} é a função superior e y = x^{2} + 1 é a inferior.

Passo 4

A área entre duas curvas de x = a até x = b é dada por A = integrala^b l(fsup(x) - finf(x)r),dx Aqui a = -1, b = 1, f_{sup}(x) = 3 - x^{2}, f_{inf}(x) = x^{2} + 1, logo montamos:
A = integral-1^1 l((3 - x^2) - (x^2 + 1)r),dx

Passo 5

Simplificamos o integrando e calculamos a primitiva. Primeiro:
(3 - x^2) - (x^2 + 1) = 2 - 2x^2 A primitiva de 2 é 2x e de -2x^{2} é -\frac{2}{3}x^{3}. Logo,
A = integral-1^1 (2 - 2x^2),dx = l[2x - tfrac23x^3r]-1^1

Passo 6

Agora avaliamos nos limites x = 1 e x = -1:
l(2cdot1 - tfrac23cdot1^3r) - l(2cdot(-1) - tfrac23cdot(-1)^3r) = l(2 - tfrac23r) - l(-2 + tfrac23r) = tfrac43 - (-tfrac43) = tfrac83

Resposta

tfrac83

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