Seja
a região limitada pelas curvas
e
.
(b) (1 ponto) Calcule a área da região
.
(b) (1 ponto) Calcule a área da região
Passo 1
O exercício pede para calcular a área da região R limitada pelas curvas y = x^{2} + 1 e y = 3 - x^{2}. O conteúdo aqui é área entre duas curvas e vamos precisar encontrar os pontos de interseção, identificar qual curva é superior e depois montar e calcular a integral definida.
Passo 2
Para achar os pontos em que as duas curvas se cruzam, igualamos x^{2} + 1 = 3 - x^{2} e resolvemos para x:
Passo 3
Precisamos ver qual curva está acima entre x = -1 e x = 1. Calculamos a diferença das funções:
Passo 4
A área entre duas curvas de x = a até x = b é dada por
Aqui a = -1, b = 1, f_{sup}(x) = 3 - x^{2}, f_{inf}(x) = x^{2} + 1, logo montamos:
Passo 5
Simplificamos o integrando e calculamos a primitiva. Primeiro:
Passo 6
Agora avaliamos nos limites x = 1 e x = -1: