Exercício 3 Utilizar coordenadas polares para calcular as integrais indicadas. Esboçar a região que fornece o domínio de integração em cada caso.
integral duplax^2+y^2 <= 9 d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaDdx,dy,
onde D=(x,y)mid x^2+y^2<=9, usando coordenadas polares. O conteúdo aqui é a mudança de variáveis em integrais duplas, usando
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy=r,dr,dtheta

Passo 2

A região D é o disco de raio 3 centrado na origem. Em um esboço no plano xy isso corresponde a um círculo de raio 3 em torno de (0,0). Em coordenadas polares, todos os pontos desse disco satisfazem
0<= r<=3, 0<=theta<=2pi

Passo 3

Fazendo a troca para coordenadas polares, a integral fica
integral duplaDdx,dy =integraltheta=0^2piintegralr=0^3r,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^3r,dr =[r^22]0^3 =92
Em seguida, integramos em theta:
integral0^2pi92,dtheta =92cdot2pi =9pi

Resposta

9pi

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