SEJA
, DETERMINE:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar a derivada da função $ f(x) = x^{2} + 2x + 1 $ no ponto $ x = 1 $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função em um ponto específico usando a definição de derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. Basicamente, ela nos mostra quão rápido a função está mudando naquele exato ponto.
Passo 3
A definição formal de derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é dada pelo limite:
Nesse caso, queremos encontrar $ f’(1) $, então vamos substituir $ a $ por 1.
Passo 4
Vamos calcular $ f(1 + h) $:
Expandindo os termos:
E sabemos que $ f(1) = 1^{2} + 2(1) + 1 = 4 $.
Passo 5
Agora, aplicando na fórmula da derivada:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
Resposta
$ f’(1) = 4 $