SEJA f(x)=x^2+2x+1,(1,4), DETERMINE:
f^prime(1)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para determinar a derivada da função $ f(x) = x^{2} + 2x + 1 $ no ponto $ x = 1 $. Isso faz parte do estudo de Cálculo Diferencial, especificamente das derivadas. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de uma função em um ponto específico usando a definição de derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função em um ponto nos diz a inclinação da reta tangente à curva dessa função nesse ponto. Basicamente, ela nos mostra quão rápido a função está mudando naquele exato ponto.

Passo 3

A definição formal de derivada de uma função $ f $ em um ponto $ a $ é dada pelo limite:
f
Nesse caso, queremos encontrar $ f’(1) $, então vamos substituir $ a $ por 1.

Passo 4

Vamos calcular $ f(1 + h) $:
f(1 + h)
Expandindo os termos:
f(1 + h) = (1 + h)^2 + 2(1 + h) + 1
= 1 + 2h + h^2 + 2 + 2h + 1
E sabemos que $ f(1) = 1^{2} + 2(1) + 1 = 4 $.

Passo 5

Agora, aplicando na fórmula da derivada:
f'(1) = limh to 0 f(1 + h) - f(1)h = limh to 0 h^2 + 4h + 4 - 4h
= limh to 0 h^2 + 4hh
= limh to 0 (h + 4)

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando $ h $ tende a 0:
h

Resposta

$ f’(1) = 4 $

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