Calcule usando mudanças de variáveis na seguinte integral dupla:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis! A gente tem a integral:
Aqui, vamos precisar usar a técnica de mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos identificar substituições que facilitem esse processo e calcular o Jacobiano para ajustar a área. Então, bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos escolher novas variáveis que simplifiquem a expressão dentro da integral. Observe que temos
e
na função. Então, faz sentido definir:
Essas substituições vão transformar nossa integral em termos de
e
, tornando-a mais fácil de resolver.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar o elemento de área
. O Jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
Primeiro, escrevemos as equações inversas para
e
:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Montamos a matriz Jacobiana:
Calculamos o determinante de
:
Como o determinante é
, o valor absoluto é
. Então, o elemento de área transforma-se:
Passo 4
Agora, vamos reescrever a função integrada
em termos de
e
:
Então, a função fica:
Passo 5
Substituindo tudo na integral original, temos:
Aqui,
é a região transformada após a mudança de variáveis. Para continuar, precisaríamos conhecer os limites de integração da região
original e como ela se transforma em
. Com esses limites, poderíamos calcular a integral final.
Resposta
A integral transformada fica: