Calcule usando mudanças de variáveis na seguinte integral dupla:
integral duplaD(x+y)^2(x-y)^4 d A

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando mudança de variáveis! A gente tem a integral:
integral duplaD(x+y)^2(x-y)^4 , dA
Aqui, vamos precisar usar a técnica de mudança de variáveis para simplificar a integração. Vamos identificar substituições que facilitem esse processo e calcular o Jacobiano para ajustar a área. Então, bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escolher novas variáveis que simplifiquem a expressão dentro da integral. Observe que temos (x+y) e (x-y) na função. Então, faz sentido definir:
u = x + y
v = x - y
Essas substituições vão transformar nossa integral em termos de u e v, tornando-a mais fácil de resolver.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar o elemento de área dA. O Jacobiano é a determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
Primeiro, escrevemos as equações inversas para x e y:
x = u + v2
y = u - v2
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
Montamos a matriz Jacobiana:
J = 12 & 12 12 & -12
Calculamos o determinante de J:
det(J) = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
Como o determinante é -12, o valor absoluto é 12. Então, o elemento de área transforma-se:
dA = |det(J)| , du , dv = 12 , du , dv

Passo 4

Agora, vamos reescrever a função integrada (x+y)^2(x-y)^4 em termos de u e v:
(x + y)^2 = u^2
(x - y)^4 = v^4
Então, a função fica:
(x+y)^2(x-y)^4 = u^2 v^4

Passo 5

Substituindo tudo na integral original, temos:
integral duplaD u^2 v^4 cdot 12 , du , dv = 12 integral duplaD' u^2 v^4 , du , dv
Aqui, D' é a região transformada após a mudança de variáveis. Para continuar, precisaríamos conhecer os limites de integração da região D original e como ela se transforma em D'. Com esses limites, poderíamos calcular a integral final.

Resposta

A integral transformada fica:
12 integral duplaD' u^2 v^4 , du , dv

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