Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
gira em torno do eixo & y=x^2 e y=x^3 & x=raizy x=13 y .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = x^{3} $, $ x = \sqrt{y} $ e $ x = \frac{1}{3}y $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método de discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
  1. $ y = x^{2} $: Uma parábola que abre para cima.
  2. $ y = x^{3} $: Uma curva cúbica que passa pela origem.
  3. $ x = \sqrt{y} $: Isso é o mesmo que $ y = x^{2} $, já que se isolarmos $ y $, temos a parábola novamente.
  4. $ x = \frac{1}{3}y $: Isso pode ser reescrito como $ y = 3x $, uma reta que passa pela origem com inclinação 3.
Percebemos que algumas dessas equações representam as mesmas curvas. Então, essencialmente, temos três curvas distintas: $ y = x^{2} $, $ y = x^{3} $ e $ y = 3x $.

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente qual é a região que vamos girar.
Vamos igualar $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $:
y = x^2
Então, as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $ se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Agora, vamos encontrar a interseção entre $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $:
y = x^3
Então, $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $ se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 3 $.
Por fim, vamos verificar onde $ y = x^{3} $ e $ y = 3x $ se intersectam:
x^2 = x^3 x^3 - x^2 = 0 x^2(x - 1) = 0 x = 0 ou x = 1
Considerando apenas $ x \geq 0 $ (já que estamos trabalhando com $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $), temos interseções em $ x = 0 $ e $ x = \sqrt{3} $.

Passo 4

Com esses pontos de interseção, podemos visualizar que a região que vamos girar está limitada entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, onde $ y = x^{2} $ está acima de $ y = x^{3} $, e entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $, onde $ y = 3x $ está acima de $ y = x^{2} $.
Para calcular o volume, vamos dividir em duas partes:
  1. De $ x = 0 $ a $ x = 1 $: entre $ y = x^{3} $ e $ y = x^{2} $.
  2. De $ x = 1 $ a $ x = 3 $: entre $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $.
Usaremos o método dos discos (ou anéis), onde o volume é calculado pela integral do π vezes a diferença dos quadrados das funções que delimitam a região.

Passo 5

Vamos calcular o volume da primeira parte, de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
x = 0
Agora, integramos termo a termo:
x = 1

Passo 6

Agora, vamos calcular o volume da segunda parte, de $ x = 1 $ a $ x = 3 $:
x = 1
Integramos termo a termo:
x = 3
Calculando nos limites:
Para $ x = 3 $:
V2 = pi integral1^3 ( (3x)^2 - (x^2)^2 ) dx = pi integral1^3 ( 9x^2 - x^4 ) dx
Para $ x = 1 $:
V2 = pi [ 9x^33 - x^55 ]1^3 = pi [ 3x^3 - x^55 ]1^3
Portanto:
x = 3

Passo 7

Finalmente, somamos os volumes das duas partes para obter o volume total do sólido:
V = V1 + V2 = 2pi35 + 29,6pi = pi ( 235 + 29,6 )
Calculando a soma dentro dos parênteses:
235 + 29,6 = 235 + 29,6 times 3535 = 2 + 103635 = 103835 approx 29,6571
Portanto:
V approx 29,6571pi

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente $ 29{,}6571,\pi $ unidades cúbicas.

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