Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas
gira em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas $ y = x^{2} $, $ y = x^{3} $, $ x = \sqrt{y} $ e $ x = \frac{1}{3}y $ gira em torno do eixo $ x $. Para isso, vamos usar o método de discos ou anéis, que é uma técnica de cálculo de volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que delimitam a região:
- $ y = x^{2} $: Uma parábola que abre para cima.
- $ y = x^{3} $: Uma curva cúbica que passa pela origem.
- $ x = \sqrt{y} $: Isso é o mesmo que $ y = x^{2} $, já que se isolarmos $ y $, temos a parábola novamente.
- $ x = \frac{1}{3}y $: Isso pode ser reescrito como $ y = 3x $, uma reta que passa pela origem com inclinação 3.
Percebemos que algumas dessas equações representam as mesmas curvas. Então, essencialmente, temos três curvas distintas: $ y = x^{2} $, $ y = x^{3} $ e $ y = 3x $.
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos de interseção dessas curvas para saber exatamente qual é a região que vamos girar.
Vamos igualar $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $:
Então, as curvas $ y = x^{2} $ e $ y = x^{3} $ se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 1 $.
Agora, vamos encontrar a interseção entre $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $:
Então, $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $ se intersectam em $ x = 0 $ e $ x = 3 $.
Por fim, vamos verificar onde $ y = x^{3} $ e $ y = 3x $ se intersectam:
Considerando apenas $ x \geq 0 $ (já que estamos trabalhando com $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $), temos interseções em $ x = 0 $ e $ x = \sqrt{3} $.
Passo 4
Com esses pontos de interseção, podemos visualizar que a região que vamos girar está limitada entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, onde $ y = x^{2} $ está acima de $ y = x^{3} $, e entre $ x = 1 $ e $ x = 3 $, onde $ y = 3x $ está acima de $ y = x^{2} $.
Para calcular o volume, vamos dividir em duas partes:
- De $ x = 0 $ a $ x = 1 $: entre $ y = x^{3} $ e $ y = x^{2} $.
- De $ x = 1 $ a $ x = 3 $: entre $ y = x^{2} $ e $ y = 3x $.
Usaremos o método dos discos (ou anéis), onde o volume é calculado pela integral do π vezes a diferença dos quadrados das funções que delimitam a região.
Passo 5
Vamos calcular o volume da primeira parte, de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 6
Agora, vamos calcular o volume da segunda parte, de $ x = 1 $ a $ x = 3 $:
Integramos termo a termo:
Calculando nos limites:
Para $ x = 3 $:
Para $ x = 1 $:
Portanto:
Passo 7
Finalmente, somamos os volumes das duas partes para obter o volume total do sólido:
Calculando a soma dentro dos parênteses:
Portanto:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente $ 29{,}6571,\pi $ unidades cúbicas.