Seja f(x)=x^3-3 x^2+4.
a) Determine os intervalos onde f é crescente e onde f é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de f e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de f é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de f.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: temos a função f(x)=x^3-3x^2+4 e precisamos estudar onde ela é crescente/decrescente, achar e classificar os pontos críticos, ver a concavidade e finalmente esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar derivada primeira (para monotonicidade e pontos críticos) e derivada segunda (para concavidade e ponto de inflexão).

Passo 2

Primeiro passo de verdade: calcular a derivada primeira de f. A derivada de x^3 é 3x^2, de -3x^2 é -6x e de +4 é 0. Logo, temos
f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)

Passo 3

Agora identificamos os pontos onde f'(x)=0. Resolvendo
3x(x-2)=0
tem-se as raízes x=0 e x=2. Esses são os candidatos a extremos.

Passo 4

Para estudar onde f é crescente ou decrescente, fazemos o teste de sinal de f'(x)=3x(x-2):
  • Em (-,0), pegue x=-1: f'(-1)=3dot(-1)dot(-3)=9>0, cresce.
  • Em (0,2), pegue x=1: f'(1)=3dot1dot(-1)=-3<0, decresce.
  • Em (2,), pegue x=3: f'(3)=3dot3dot1=9>0, cresce.

Passo 5

Com essas trocas de sinal em x=0 (de + para -) e em x=2 (de - para +), aplicamos o teste da primeira derivada:
  • Em x=0, f' muda de positivo para negativo, logo temos um máximo local em x=0. Calculando f(0)=4, o ponto é (0,4).
  • Em x=2, f' muda de negativo para positivo, logo temos um mínimo local em x=2. Calculando f(2)=2^3-3dot2^2+4=8-12+4=0, o ponto é (2,0).

Passo 6

Agora partimos para a derivada segunda: derivando f'(x)=3x^2-6x
f''(x)=6x-6
Analisamos onde f''(x)=0 para encontrar ponto de inflexão: resolvendo
6x-6=0
tem-se x=1.

Passo 7

Para concavidade, testamos o sinal de f''(x):
  • Em (-,1), pegue x=0: f''(0)=-6<0, concavidade para baixo.
  • Em (1,), pegue x=2: f''(2)=6>0, concavidade para cima.
    No ponto x=1 ocorre troca de concavidade, então (1,f(1))=(1,1-3+4=2) é ponto de inflexão.

Passo 8

Para esboçar o gráfico, marcamos:
  • Máximo local em (0,4).
  • Mínimo local em (2,0).
  • Ponto de inflexão em (1,2).
    Sabendo os intervalos de monotonicidade e concavidade, desenhamos uma curva que sobe até (0,4), depois desce até (2,0) e aí volta a subir, mudando de abaulamento em x=1.

Resposta

a) f é crescente em (-∞,0) ∪ (2,∞) e decrescente em (0,2).
b) Pontos críticos: (0,4) é máximo local; (2,0) é mínimo local.
c) Concavidade para baixo em (-∞,1) e para cima em (1,∞). Ponto de inflexão em (1,2).
d) Gráfico: curva que sobe até (0,4), desce até (2,0) e depois sobe, trocando de concavidade em x=1.

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