Seja
.
a) Determine os intervalos onde
é crescente e onde
é decrescente.
b) Determine os pontos críticos de
e classifique-os em pontos de máximo local, pontos de mínimo local ou pontos de inflexão.
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
é para cima e onde é para baixo.
d) Esboce o gráfico de
.
a) Determine os intervalos onde
b) Determine os pontos críticos de
c) Determine os intervalos onde a concavidade do gráfico de
d) Esboce o gráfico de
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício pede: temos a função
e precisamos estudar onde ela é crescente/decrescente, achar e classificar os pontos críticos, ver a concavidade e finalmente esboçar o gráfico. Para isso, vamos usar derivada primeira (para monotonicidade e pontos críticos) e derivada segunda (para concavidade e ponto de inflexão).
Passo 2
Primeiro passo de verdade: calcular a derivada primeira de
. A derivada de
é
, de
é
e de
é 0. Logo, temos
Passo 3
Agora identificamos os pontos onde
. Resolvendo
tem-se as raízes
e
. Esses são os candidatos a extremos.
Passo 4
Para estudar onde
é crescente ou decrescente, fazemos o teste de sinal de
:
- Em
, pegue : , cresce. - Em
, pegue : , decresce. - Em
, pegue : , cresce.
Passo 5
Com essas trocas de sinal em
(de + para -) e em
(de - para +), aplicamos o teste da primeira derivada:
- Em
, muda de positivo para negativo, logo temos um máximo local em . Calculando , o ponto é . - Em
, muda de negativo para positivo, logo temos um mínimo local em . Calculando , o ponto é .
Passo 6
Agora partimos para a derivada segunda: derivando
dá
Analisamos onde
para encontrar ponto de inflexão: resolvendo
tem-se
.
Passo 7
Para concavidade, testamos o sinal de
:
- Em
, pegue : , concavidade para baixo. - Em
, pegue : , concavidade para cima.
No pontoocorre troca de concavidade, então é ponto de inflexão.
Passo 8
Para esboçar o gráfico, marcamos:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
. - Ponto de inflexão em
.
Sabendo os intervalos de monotonicidade e concavidade, desenhamos uma curva que sobe até, depois desce até e aí volta a subir, mudando de abaulamento em .
Resposta
a) f é crescente em (-∞,0) ∪ (2,∞) e decrescente em (0,2).
b) Pontos críticos: (0,4) é máximo local; (2,0) é mínimo local.
c) Concavidade para baixo em (-∞,1) e para cima em (1,∞). Ponto de inflexão em (1,2).
d) Gráfico: curva que sobe até (0,4), desce até (2,0) e depois sobe, trocando de concavidade em x=1.
b) Pontos críticos: (0,4) é máximo local; (2,0) é mínimo local.
c) Concavidade para baixo em (-∞,1) e para cima em (1,∞). Ponto de inflexão em (1,2).
d) Gráfico: curva que sobe até (0,4), desce até (2,0) e depois sobe, trocando de concavidade em x=1.