(0,8) Seja
f(x)=2 x^2x^2-1
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Domínio e simetria.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ e precisamos descobrir duas coisas: o domínio dessa função e se ela possui alguma simetria. Para isso, vamos usar conceitos de funções e suas propriedades. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de $ x $ que a função pode aceitar sem problemas, ou seja, onde a função está definida.
Olha só, nossa função tem um denominador $ x^{2} - 1 $. A gente sabe que não pode dividir por zero, então precisamos garantir que $ x^{2} - 1 \neq 0 $.
Então, vamos resolver:
x
Isso significa que $ x $ não pode ser 1 nem -1. Então, o domínio da função é todos os números reais exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $.

Passo 3

Agora, vamos ver se a função tem alguma simetria. As funções podem ser pares, ímpares ou não possuírem simetria.
Para testar, a gente vai verificar o que acontece se substituir $ x $ por $ -x $ na função e comparar com a função original.
Nossa função é:
x
Substituindo $ x $ por $ -x $:
-x
Como $ f(-x) = f(x) $, isso significa que a função é par. Funções pares são simétricas em relação ao eixo y.

Resposta

O domínio da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ é todos os números reais menos $ x = 1 $ e $ x = -1 $. Além disso, a função é par, ou seja, possui simetria em relação ao eixo y.

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