(2,0)Derive a funções abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função $ y = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) $. Aqui, vamos mexer com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação para funções compostas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber derivar funções logarítmicas e radicais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $. Nesse caso, $ u = x + \sqrt{x^{2} - 1} $. Então, para aplicar a regra da cadeia, precisamos primeiro encontrar a derivada de $ u $.
Passo 3
Vamos derivar $ u = x + \sqrt{x^{2} - 1} $. A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1. Agora, para a parte da raiz, usamos a regra da derivada de uma função de potência. Sabemos que $ \sqrt{x^{2} - 1} = (x^{2} - 1)^{1/2} $, então a derivada é:
Passo 4
Agora, juntando as derivadas das duas partes de $ u $, temos:
Passo 5
Agora, aplicando a regra da cadeia para a função logarítmica:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum no numerador:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Observamos que $ \sqrt{x^{2} - 1} + x = x + \sqrt{x^{2} - 1} $, que cancela com o denominador, deixando:
Resposta
A derivada da função é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} $.