(2,0)Derive a funções abaixo.
y=ln (x+raizx^2-1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da função $ y = \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1}\right) $. Aqui, vamos mexer com cálculo diferencial, especificamente com regras de derivação para funções compostas e logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a regra da cadeia e saber derivar funções logarítmicas e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $, onde $ u $ é uma função de $ x $. Nesse caso, $ u = x + \sqrt{x^{2} - 1} $. Então, para aplicar a regra da cadeia, precisamos primeiro encontrar a derivada de $ u $.

Passo 3

Vamos derivar $ u = x + \sqrt{x^{2} - 1} $. A derivada de $ x $ em relação a $ x $ é 1. Agora, para a parte da raiz, usamos a regra da derivada de uma função de potência. Sabemos que $ \sqrt{x^{2} - 1} = (x^{2} - 1)^{1/2} $, então a derivada é:
u = x + raizx^2 - 1

Passo 4

Agora, juntando as derivadas das duas partes de $ u $, temos:
u

Passo 5

Agora, aplicando a regra da cadeia para a função logarítmica:
dydx = u'u = 1 + xraizx^2 - 1x + raizx^2 - 1

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, encontramos um denominador comum no numerador:
1 + xraizx^2 - 1 = raizx^2 - 1 + xraizx^2 - 1
Então, substituindo de volta:
dydx = raizx^2 - 1 + xraizx^2 - 1x + raizx^2 - 1 = raizx^2 - 1 + xraizx^2 - 1(x + raizx^2 - 1)

Passo 7

Observamos que $ \sqrt{x^{2} - 1} + x = x + \sqrt{x^{2} - 1} $, que cancela com o denominador, deixando:
raizx^2 - 1 + x = x + raizx^2 - 1

Resposta

A derivada da função é $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}} $.

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