Seja
.
(a) Use a definição de derivada para determinar
.
(b) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de
para
.
(c) A reta
é uma assíntota vertical do gráfico de
? Justifique.
(a) Use a definição de derivada para determinar
(b) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de
(c) A reta
Passo 1
O enunciado define a função
e pede três coisas: (a) calcular
usando a definição de derivada, (b) achar a equação da reta tangente ao gráfico de
em
, (c) verificar se
é uma assíntota vertical de
.
O conteúdo aqui envolve a definição de derivada
O conteúdo aqui envolve a definição de derivada
e o conceito de assíntota vertical para funções racionais.
Passo 2
Primeiro calculamos
:
Em seguida montamos o limite da definição:
Passo 3
Simplificando o numerador encontramos um único quociente e, ao dividir por
, o quociente de diferença fica
Passo 4
Tomando
obtemos
Passo 5
A equação da reta tangente no ponto
segue da forma ponto-inclinação:
Simplificando,
Passo 6
Analisando
, o denominador de
se anula e o numerador tende a
. Logo
o que caracteriza
como assíntota vertical.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim. é assíntota vertical pois
(denominador zera e numerador tende a
).
(b)
(c) Sim.