Seja f(x)=3 x-2x-5.
(a) Use a definição de derivada para determinar f^prime(2).
(b) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico de f para x=2.
(c) A reta x=5 é uma assíntota vertical do gráfico de f ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=3x-2x-5 e pede três coisas: (a) calcular f'(2) usando a definição de derivada, (b) achar a equação da reta tangente ao gráfico de f em x=2, (c) verificar se x=5 é uma assíntota vertical de f.
O conteúdo aqui envolve a definição de derivada
f'(a)=limhto0f(a+h)-f(a)h
e o conceito de assíntota vertical para funções racionais.

Passo 2

Primeiro calculamos f(2):
f(2)=3cdot2-22-5=4-3=-43,
Em seguida montamos o limite da definição:
f(2+h)-f(2)h =3(2+h)-2(2+h)-5-l(-tfrac43r)h,

Passo 3

Simplificando o numerador encontramos um único quociente e, ao dividir por h, o quociente de diferença fica
133,(h-3),

Passo 4

Tomando hto0 obtemos
f'(2)=limhto0133,(h-3) =133cdot(-3) =-139,

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto x=2 segue da forma ponto-inclinação:
y - l(-43r) =-139(x-2)
Simplificando,
y=-139x+149

Passo 6

Analisando x=5, o denominador de f(x) se anula e o numerador tende a 3cdot5-2=13neq0. Logo
limxto5^pmf(x)=pminfty,
o que caracteriza x=5 como assíntota vertical.

Resposta

(a) f'(2)=-tfrac139
(b) y=-tfrac139x+tfrac149
(c) Sim. x=5 é assíntota vertical pois limxto5^pmf(x)=pminfty (denominador zera e numerador tende a 13neq0).

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