Calcule a derivada de y=1x^2 usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em (2, 14).

Passo 1

O problema pede para calcular a derivada da função y=1x^2 usando a definição de derivada (limite de quociente incremental) e depois encontrar a reta tangente no ponto (2,tfrac14). Vamos usar conceitos de limite e definição de derivada.

Passo 2

Para encontrar y'=f'(x) pela definição, usamos f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h Aqui f(x)=tfrac1x^2, então f(x+h)=1(x+h)^2. Substituindo no quociente, obtemos:
$$\frac{\tfrac1{(x+h)2}-\tfrac1{x2}}{h} = \frac{x2-(x+h)2}{h,x2,(x+h)2}.
$$ O numerador se expande: tfrac1(x+h)^2-tfrac1x^2h = x^2-(x+h)^2h,x^2,(x+h)^2 . Assim o quociente vira:
$$\frac{-2xh - h2}{h,x2,(x+h)^2} = \frac{h(-2x - h)}{h,x2,(x+h)2} = \frac{-2x - h}{x2,(x+h)2}.
$$ Agora tomamos o limite x^2-(x^2+2xh+h^2)= -2xh - h^2: o termo -2xh - h^2h,x^2,(x+h)^2 = h(-2x - h)h,x^2,(x+h)^2 = -2x - hx^2,(x+h)^2 some, dando
$$f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{-2x - h}{x2,(x+h)2} = \frac{-2x}{x2,x2} = -\frac{2}{x^3}.
$$

Passo 3

Para achar a inclinação da tangente em x0=2, calculamos f'(2)= -tfrac22^3 = -tfrac28 = -tfrac14 A equação da reta tangente em (x0,y0)=(2,tfrac14) com coeficiente angular m=-tfrac14 é dada por
y - y0 = m(x - x0) Substituindo, temos
y - tfrac14 = -tfrac14,(x - 2) Longrightarrow y = -tfrac14 x + tfrac12 + tfrac14 = -tfrac14 x + tfrac34

Resposta

A derivada é y'=-tfrac2x^3 e a reta tangente em (2,tfrac14) é y=-tfrac14 x + tfrac34.

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