Calcule a derivada de
usando a definição de derivada e encontre a equação da reta tangente à curva em
.
Passo 1
O problema pede para calcular a derivada da função
usando a definição de derivada (limite de quociente incremental) e depois encontrar a reta tangente no ponto
. Vamos usar conceitos de limite e definição de derivada.
Passo 2
Para encontrar
pela definição, usamos
Aqui
, então
. Substituindo no quociente, obtemos:
$$\frac{\tfrac1{(x+h)2}-\tfrac1{x2}}{h} = \frac{x2-(x+h)2}{h,x2,(x+h)2}.
$$ O numerador se expande:
. Assim o quociente vira:
$$\frac{-2xh - h2}{h,x2,(x+h)^2} = \frac{h(-2x - h)}{h,x2,(x+h)2} = \frac{-2x - h}{x2,(x+h)2}.
$$ Agora tomamos o limite
: o termo
some, dando
$$f’(x)=\lim_{h\to0}\frac{-2x - h}{x2,(x+h)2} = \frac{-2x}{x2,x2} = -\frac{2}{x^3}.
$$
Passo 3
Para achar a inclinação da tangente em
, calculamos
A equação da reta tangente em
com coeficiente angular
é dada por
Resposta
A derivada é
e a reta tangente em
é
.