3^ a ) Seja f(x)=x-3x+1, mostre que f(f(f(x)))=x.

Passo 1

Beleza, a questão diz que temos a função
f(x) = x-3,x+1,
e pede para mostrar que, se a gente aplicar fl(fl(f(x)r)r) = x três vezes seguidas em , volta em . Em outras palavras, provar que
O conteúdo que vamos usar é composição de funções racionais e simplificação de frações algébricas. Então, primeiro compomos com ela mesma para achar , depois repetimos pra achar e simplificamos.

Passo 2

Calcular y = f(x) = x-3x+1 . Definimos
f(y) = y-3y+1 = x-3x+1 - 3x-3x+1 + 1
Então
x-3x+1 - 3 = x-3 - 3(x+1)x+1 = x - 3 -3x -3x+1 = -2x -6x+1
Agora simplifica dividindo numerador e denominador por x-3x+1 + 1 = x-3 + (x+1)x+1 = 2x -2x+1 :
  • Numerador: f(f(x)) = -2x-6x+12x-2x+1 = -2x-62x-2 = -2(x+3)2(x-1) = -x+3,x-1,
  • Denominador:
Logo,

Passo 3

Agora vamos achar
fl(f(f(x))r) = f!l(-x+3x-1r)
Chamemos
z = -x+3x-1
Então
f(z)=z-3z+1 = -x+3x-1 - 3 -x+3x-1 + 1
De novo, simplificamos por -x+3x-1 - 3 = -(x+3) - 3(x-1)x-1 = -x -3 -3x +3x-1 = -4xx-1 :
  • Numerador: -x+3x-1 + 1 = -(x+3) + (x-1)x-1 = -x -3 + x -1x-1 = -4x-1
  • Denominador: f(z) = -4xx-1-4,x-1, = -4xx-1 cdot x-1-4 = x
Então

Resposta

boxedfl(fl(f(x)r)r) = x

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