Seja f(x)=x^2-4x-1
Mostre que f^prime prime(x)=2(x^2-2 x+7)(x-1)^5 e determine os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os intervalos em que é côncavo para baixo;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos a segunda derivada de f(x)=x^2-4x-1 e, em seguida, determinar onde o gráfico de f é côncavo para cima ou para baixo. Vamos usar derivação de quociente e depois estudar o sinal de f''(x).

Passo 2

Para achar f'(x), aplicamos a regra do quociente: se f(x)=u(x)v(x), então f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2. Aqui u(x)=x^2-4 e v(x)=x-1, de modo que u'(x)=2x e v'(x)=1. Substituindo,
f'(x)=(2x)(x-1)-(x^2-4)(1)(x-1)^2 = 2x^2-2x-x^2+4(x-1)^2 = x^2-2x+4(x-1)^2

Passo 3

Agora derivamos f'(x)=x^2-2x+4(x-1)^2 de novo, usando outra vez a regra do quociente, com U(x)=x^2-2x+4 e V(x)=(x-1)^2. Temos U'(x)=2x-2 e V'(x)=2(x-1). Assim,
f''(x)=(2x-2)(x-1)^2-(x^2-2x+4)cdot2(x-1)(x-1)^4

Passo 4

Para simplificar, fatoramos (x-1) no numerador:
f''(x)=(x-1)[(2x-2)(x-1)-2(x^2-2x+4)](x-1)^4 = (2x-2)(x-1)-2(x^2-2x+4)(x-1)^3

Passo 5

Expandindo e juntando termos no numerador:
(2x-2)(x-1)=2x^2-4x+2, 2(x^2-2x+4)=2x^2-4x+8,
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2x^2-4x+2 - (2x^2-4x+8)=2x^2-4x+2-2x^2+4x-8 = -6

Passo 6

Portanto
f''(x)=-6(x-1)^3 = 2(x^2-2x+7)(x-1)^5,conferindo a forma pedida.

Passo 7

Para estudar concavidade, observamos que no formato final f''(x)=2dfracx^2-2x+7(x-1)^5, o numerador 2(x^2-2x+7) é sempre positivo (discriminante <0), e o sinal de f''(x) vem de (x-1)^5, que é positivo se x>1 e negativo se x<1.

Resposta

f''(x)=2l(x^2-2x+7r)(x-1)^5,
f é côncavo para cima em (1,infty) e côncavo para baixo em .

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