Seja
Mostre que
e determine os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os intervalos em que é côncavo para baixo;
Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos a segunda derivada de
e, em seguida, determinar onde o gráfico de
é côncavo para cima ou para baixo. Vamos usar derivação de quociente e depois estudar o sinal de
.
Passo 2
Para achar
, aplicamos a regra do quociente: se
, então
. Aqui
e
, de modo que
e
. Substituindo,
Passo 3
Agora derivamos
de novo, usando outra vez a regra do quociente, com
e
. Temos
e
. Assim,
Passo 4
Para simplificar, fatoramos
no numerador:
Passo 5
Expandindo e juntando termos no numerador:
logo
Passo 6
Portanto
Passo 7
Para estudar concavidade, observamos que no formato final
, o numerador
é sempre positivo (discriminante
), e o sinal de
vem de
, que é positivo se
e negativo se
.