Seja
f(x) = x^2 - 9x - 3, & se x neq 3, 4, & se x = 3
Determine, caso exista:
a) limx o 3^+ f(x);
b) limx o 3^- f(x);
c) limx o 3 f(x).

Passo 1

Enunciado: temos a função por partes
f(x)= x^2-9x-3,&xneq3,4,&x=3
O conteúdo é limites laterais e global em x=3. Vamos precisar fatorar a diferença de quadrados e usar propriedades de limites.

Passo 2

Para x\neq3, fatoramos o numerador x^2-9 como (x-3)(x+3). Assim,
f(x)=(x-3)(x+3)x-3=x+3(xneq3)
Isso mostra que, para x próximo de 3 mas diferente de 3, f(x) se comporta como x+3.

Passo 3

Para os limites laterais, como f(x)=x+3 perto de 3, temos
limxto3^+f(x)=limxto3^-f(x)=limxto3(x+3)=6
Ou seja, ambos os limites laterais valem 6.

Passo 4

Como os limites pela direita e pela esquerda são iguais (6), o limite em x\to3 existe e vale 6. Note que f(3)=4, diferente de 6, indicando descontinuidade removível.

Resposta

limxto3^+f(x)=6,limxto3^-f(x)=6,limxto3f(x)=6

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