Sejam A(a1, a2-15), B(a1-5, a3+7) e C(a1+10, a4-12) pontos do plano cartesiano.
Determine a equação cartesiana da reta que passa pelos pontos A e B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá dois pontos no plano cartesiano, e , e nos pede para encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre como determinar a equação de uma reta a partir de dois pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma reta pode ser escrita na forma , onde é o coeficiente angular (inclinação) da reta e é o coeficiente linear (interseção com o eixo y). Para encontrar essa equação, precisamos determinar e .

Passo 3

Vamos começar encontrando o coeficiente angular m = y2 - y1x2 - x1 . A fórmula para calcular m = (a3+7) - (a2-15)(a1-5) - a1 entre dois pontos e é:
No nosso caso, os pontos A e B têm coordenadas e . Vamos substituir esses valores na fórmula:

Passo 4

Vamos simplificar essa expressão:
m = a3 + 7 - a2 + 15a1 - 5 - a1 = a3 - a2 + 22-5
Portanto, o coeficiente angular é:
m = -a3 - a2 + 225

Passo 5

Agora que temos a2 - 15 = m cdot a1 + b , vamos encontrar o coeficiente linear a2 - 15 = -a3 - a2 + 225 cdot a1 + b . Para isso, podemos usar as coordenadas de um dos pontos, digamos o ponto A b = a2 - 15 + a3 - a2 + 225 cdot a1 , e substituir na equação :
Substituindo o valor de :
Vamos isolar :

Passo 6

Agora, temos tanto y = -a3 - a2 + 225x + ( a2 - 15 + a3 - a2 + 225 cdot a1 ) quanto . Vamos montar a equação da reta:

Resposta

A equação cartesiana da reta que passa pelos pontos y = -a3 - a2 + 225x + ( a2 - 15 + a3 - a2 + 225 cdot a1 ) e é:

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