Seja f(x)=x^2-a3 x^3-|x-a2|+|x-a4|+x|x-a1|. Calcule, caso existam, as derivadas
f^prime(-2)

Passo 1

Estamos com a função f(x)=x^2-a3x^3-|x-a2|+|x-a4|+x|x-a1| e queremos calcular f'(-2). Para isso vamos usar derivação de polinômio, regra da cadeia para valor absoluto e regra do produto.

Passo 2

Precisamos verificar primeiro se f é diferenciável em x=-2. Os possíveis pontos de não diferenciabilidade são onde os termos |x-a2|,|x-a4| ou x|x-a1| fazem o argumento do valor absoluto ser zero, ou seja, em x=a2,x=a4,x=a1. Logo, f'(-2) só existe se -2neq a2,-2neq a4 e -2neq a1.

Passo 3

Agora, para x em que xneq a2,a4,a1, derivamos termo a termo:
  • Derivada de x^2 é 2x.
  • Derivada de -a3x^3 é -3a3x^2.
  • Derivada de -|x-a2| é , lembrando que quando -sgn(x-a2).
  • Derivada de sgn(u)=u/|u| é .
  • Para uneq0 usamos produto:
    • derivada de |x-a4| é sgn(x-a4) vezes x|x-a1|,
    • mais x vezes derivada de 1, que é .

Passo 4

Assim obtemos a expressão geral

Passo 5

Basta agora avaliar em x=-2:

Passo 6

Podemos simplificar |(-2)-a1|=|a1+2|. Portanto obtemos a forma final de f'(-2), válida sempre que -2neq a2,a4,a1.

Resposta

A derivada existe se e somente se -2≠a_{2},-2≠a_{4},-2≠a_{1}. Nesse caso,

Exercícios relacionados