Sejam A(a1, a2-15), B(a1-5, a3+7) e C(a1+10, a4-12) pontos do plano cartesiano.
Determine, caso exista, a equação cartesiana da parábola que passa pelos pontos A, B e C. Caso não exista parábola que passe pelos 3 pontos, explique a razão disso.

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola genérica no plano que passe pelos três pontos cujas abscissas são xA=a1, xB=a1-5 e xC=a1+10 e cujas ordenadas são dadas por yA=a2-15, yB=a3+7 e yC=a4-12. Vamos usar o conteúdo de interpolação de polinômios: três pontos de abscissas distintas determinam, quando existe, uma parábola de forma y=px^2+qx+r.

Passo 2

Assumimos a forma geral da parábola
y = p x^2 + q x + r
e impomos que ela passe por A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC,yC). Substituindo, obtemos o sistema
a2-15 = p,a1^2 + q,a1 + r, a3+7 = p,(a1-5)^2 + q,(a1-5) + r, a4-12 = p,(a1+10)^2 + q,(a1+10) + r

Passo 3

Como as abscissas a1, a1-5 e a1+10 são sempre diferentes para qualquer a1, o sistema acima tem determinante não nulo e há sempre uma única parábola que passa pelos três pontos.

Passo 4

Para encontrar p, usamos a fórmula de diferenças finitas. Definindo
s12=yB-yAxB-xA, s23=yC-yBxC-xB,
temos
p = s23-s12xC-xA
Calculando
s12 = -a3 - a2 +225, s23 = a4 - a3 -1915, xC - xA = 10,
vem
p = a4 - a3 -1915 + a3 - a2 +22510 = a4 + 2a3 -3a2 +47150

Passo 5

Para obter q, usamos que entre dois pontos vale
s12 = p,(xA + xB) + q,
logo
q = s12 - p,(xA + xB) = -a3 - a2 +225 - 2a1-5150,(a4 + 2a3 -3a2 +47)

Passo 6

Por fim, determinamos r substituindo (xA,yA) na equação:
r = yA - p,xA^2 - q,xA = a2 -15 - p,a1^2 - q,a1

Passo 7

Reunindo, a parábola existe sempre e sua equação é
y = a4 + 2a3 -3a2 +47150,x^2 - l(a3 - a2 +225 + 2a1-5150(a4 + 2a3 -3a2 +47)r)x + l(a2 -15 - p,a1^2 - q,a1r)

Resposta

y = \frac{a_4 + 2a_3 -3a_2 +47}{150},x^2 - \Bigl(\frac{a_3 - a_2 +22}{5} + \frac{2a_1-5}{150}(a_4 + 2a_3 -3a_2 +47)\Bigr)x + \bigl(a_2 -15 - p,a_1^2 - q,a_1\bigr)

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