Seja f(x)=x^2-a3 x^3-|x-a2|+|x-a4|+x|x-a1|. Calcule, caso existam, as derivadas
f^prime(10)

Passo 1

O enunciado define a função
Temos
f(x)=x^2 - a3 x^3 - |x - a2| + |x - a4| + x,|x - a1|
O conteúdo é derivada de funções com valor absoluto e produto. Para resolver, vamos precisar usar regras básicas de derivada (potências, soma, produto) e a derivada de |x - a|, que é .

Passo 2

Derivada de x^2 - a3 x^3:
ddxl(x^2r)=2x, ddxl(-a3 x^3r)=-3a3 x^2
Logo, essa parte contribui com 2x -3a3 x^2.

Passo 3

Derivada de -|x - a2| + |x - a4|:

Passo 4

Derivada de x,|x - a1| pelo produto:
Temos u=x e v=|x - a1|. Então

Passo 5

Agora somamos todas as contribuições e avaliamos em x=10:

Passo 6

Simplificando [2x-3a3 x^2]x=10=20-300a3 e escrevendo , obtemos

Passo 7

A derivada existe desde que 10neq a1, 10neq a2 e 10neq a4, pois nesses pontos f teria quinas nos módulos.

Resposta

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