Seja f(x)=x^2-a3 x^3-|x-a2|+|x-a4|+x|x-a1|. Calcule, caso existam, as derivadas
f^prime(a1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de \ f(x)=x{2}-a_{3}x{3}-|x-a_{2}|+|x-a_{4}|+x|x-a_{1}| \ no ponto x=a_{1}. O conteúdo é derivada de funções com valor absoluto, que usamos por meio de derivadas laterais (one-sided) e da definição de sgn(cdot).

Passo 2

Primeiro, para x diferente de a_{2}, a_{4} e a_{1}, derivamos f:
f'(x)=2x-3a3x^2-sgn(x-a2)+sgn(x-a4)+|x-a1|+x,sgn(x-a1)

Passo 3

Agora examinamos as derivadas laterais em x=a_{1}. Para x\to a_{1}^{+}, temos |x-a_{1}|\to0 e sgn(x-a1)=+1. Substituindo x=a_{1} em f’(x) dá:
f'+(a1)=2a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4)+0+a1=3a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4)

Passo 4

Para x\to a_{1}^{-}, temos |x-a_{1}|=a_{1}-x e sgn(x-a1)=-1. Logo a soma |x-a1|+x,sgn(x-a1)=(a1-x)-x=a1-2x. Avaliando em x=a_{1} obtemos:
f'-(a1)=2a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4)+(a1-2a1)=a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4)

Passo 5

Para existir derivada em x=a_{1}, precisamos de f’{+}(a{1})=f’{-}(a{1}). Igualando:
3a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4)=a1-3a3a1^2-sgn(a1-a2)+sgn(a1-a4),

Passo 6

vem que 2a_{1}=0, ou seja a_{1}=0. Só nesse caso a derivada existe.

Passo 7

Por fim, substituindo a_{1}=0 em f’{-}(a{1}) (ou f’_{+}), temos:
f'(0)=-sgn(0-a2)+sgn(0-a4)=sgn(a2)-sgn(a4)

Resposta

A derivada existe apenas se a_{1}=0, e nesse caso f’(a_{1})=\mathrm{sgn}(a_{2})-\mathrm{sgn}(a_{4}).

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