Seja
. Calcule, caso existam, as derivadas
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de \ f(x)=x{2}-a_{3}x{3}-|x-a_{2}|+|x-a_{4}|+x|x-a_{1}| \ no ponto x=a_{1}. O conteúdo é derivada de funções com valor absoluto, que usamos por meio de derivadas laterais (one-sided) e da definição de
.
Passo 2
Primeiro, para x diferente de a_{2}, a_{4} e a_{1}, derivamos f:
Passo 3
Agora examinamos as derivadas laterais em x=a_{1}. Para x\to a_{1}^{+}, temos |x-a_{1}|\to0 e
. Substituindo x=a_{1} em f’(x) dá:
Passo 4
Para x\to a_{1}^{-}, temos |x-a_{1}|=a_{1}-x e
. Logo a soma
. Avaliando em x=a_{1} obtemos:
Passo 5
Para existir derivada em x=a_{1}, precisamos de f’{+}(a{1})=f’{-}(a{1}). Igualando:
Passo 6
vem que 2a_{1}=0, ou seja a_{1}=0. Só nesse caso a derivada existe.
Passo 7
Por fim, substituindo a_{1}=0 em f’{-}(a{1}) (ou f’_{+}), temos:
Resposta
A derivada existe apenas se a_{1}=0, e nesse caso f’(a_{1})=\mathrm{sgn}(a_{2})-\mathrm{sgn}(a_{4}).