Exercício 8. Seja
um subconjunto aberto convexo. Prove as afirmações abaixo.
Se
e
são funções convexas, então também é convexa
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é aberto e convexo, e que
e
são convexas. Queremos mostrar que
é convexa, ou seja, para todo
e todo
devemos provar
Passo 2
Como
e
são convexas, para
temos
Passo 3
Note que, por definição de
,
e o mesmo vale em
. Logo
Combinando com as desigualdades do Passo 2 obtemos
Passo 4
Finalmente, como
e sabemos que ambos
e
estão abaixo de
, concluímos
Isto é exatamente a condição de convexidade para
.
Resposta
A função
é convexa.