Exercício 8. Seja U subseteq R^n um subconjunto aberto convexo. Prove as afirmações abaixo.
Se f: U longrightarrow R e g: U longrightarrow R são funções convexas, então também é convexa
h(x):=max f(x), g(x)

Passo 1

O enunciado diz que UsubseteqR^n é aberto e convexo, e que f:UtoR e g:UtoR são convexas. Queremos mostrar que
h(x)=maxf(x),g(x)
é convexa, ou seja, para todo x,yin U e todo tin[0,1] devemos provar
hl(t x+(1-t)yr);<=;t,h(x)+(1-t),h(y)

Passo 2

Como f e g são convexas, para z=t x+(1-t)y temos
f(z);<=;t,f(x)+(1-t),f(y),
g(z);<=;t,g(x)+(1-t),g(y)

Passo 3

Note que, por definição de h,
h(x)=maxf(x),g(x) Longrightarrow f(x)<= h(x),;g(x)<= h(x),
e o mesmo vale em y. Logo
t,f(x)+(1-t),f(y)<= t,h(x)+(1-t),h(y),
t,g(x)+(1-t),g(y)<= t,h(x)+(1-t),h(y)
Combinando com as desigualdades do Passo 2 obtemos
f(z)<= t,h(x)+(1-t),h(y), g(z)<= t,h(x)+(1-t),h(y)

Passo 4

Finalmente, como
h(z)=maxf(z),g(z),
e sabemos que ambos f(z) e g(z) estão abaixo de t,h(x)+(1-t),h(y), concluímos
hl(t x+(1-t)yr) =maxf(z),g(z) <= t,h(x)+(1-t),h(y)
Isto é exatamente a condição de convexidade para h.

Resposta

A função h(x)=maxf(x),g(x) é convexa.

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