Seja f(x)=3 \epsilon^{2 x}\left(x^{2}-2\right). Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f no ponto de abscissa X o=0.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=3\epsilon^{2x}\bigl(x^{2}-2\bigr)
e pede uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa X_{0}=0.
Informações relevantes:
  • A função f está totalmente especificada pelo enunciado.
  • O ponto onde queremos a reta tangente tem abscissa X_{0}=0; precisamos calcular a ordenada f(0) e a derivada f'(0) (que é a inclinação da reta).
  • A equação da reta tangente no ponto x=X_{0} tem a forma ponto-inclinação
y=f'(X_{0})\,(x-X_{0})+f(X_{0}).

Passo 2

Calculemos a ordenada do ponto de tangência, isto é f(0).
Primeiro lembrete rápido: para qualquer base positiva não nula, temos \epsilon^{0}=1. Então
f(0)=3\epsilon^{0}\bigl(0^{2}-2\bigr)=3\cdot 1\cdot(-2)=-6.
Portanto o ponto de tangência tem coordenadas (0,-6).

Passo 3

Esclarecimento sobre a reta tangente: a derivada f'(x) dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico no ponto x. Assim, usando a forma ponto-inclinação com X_{0}=0, a reta tangente é
y=f'(0)\,(x-0)+f(0)=f'(0)\,x+f(0).
Logo precisamos calcular f'(0).

Passo 4

Vamos derivar f(x)=3\epsilon^{2x}\bigl(x^{2}-2\bigr). Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Definimos u(x)=3\bigl(x^{2}-2\bigr) e v(x)=\epsilon^{2x}.
  • A derivada de u é u'(x)=3\cdot 2x=6x.
  • Para v, usamos que a derivada de a^{g(x)} é a^{g(x)}\ln(a)\,g'(x). Aqui a=\epsilon e g(x)=2x, logo g'(x)=2. Assim
v'(x)=\epsilon^{2x}\ln(\epsilon)\cdot 2=2\ln(\epsilon)\,\epsilon^{2x}.
Aplicando a regra do produto (uv)'=u'v+uv', obtemos
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=6x\,\epsilon^{2x}+3\bigl(x^{2}-2\bigr)\cdot 2\ln(\epsilon)\,\epsilon^{2x}.
Fatorando \epsilon^{2x} e 6, podemos reescrever de forma mais compacta:
f'(x)=6\epsilon^{2x}\Bigl(x+(x^{2}-2)\ln(\epsilon)\Bigr).

Passo 5

Agora avaliamo f'(0). Substituindo x=0 na expressão fatorada:
  • \epsilon^{2\cdot 0}=\epsilon^{0}=1.
  • Dentro do parêntese: x+(x^{2}-2)\ln(\epsilon)=0+(0-2)\ln(\epsilon)=-2\ln(\epsilon).
Logo
f'(0)=6\cdot 1\cdot\bigl(-2\ln(\epsilon)\bigr)=-12\ln(\epsilon).
Observação prática: se por acaso \epsilon for a base de Euler (isto é, \epsilon=e), então \ln(\epsilon)=1 e f'(0)=-12.

Passo 6

Finalmente montamos a equação da reta tangente usando y=f'(0)x+f(0). Substituindo f'(0)=-12\ln(\epsilon) e f(0)=-6, obtemos
y=-12\ln(\epsilon)\,x-6.
(Se \epsilon=e, a reta fica y=-12x-6.)

Resposta

y=-12\ln(\epsilon)\,x-6
(se \epsilon=e, então y=-12x-6)

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