Seja
. Determine uma equação para a reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede uma equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Informações relevantes:
- A função
está totalmente especificada pelo enunciado. - O ponto onde queremos a reta tangente tem abscissa
; precisamos calcular a ordenada e a derivada (que é a inclinação da reta). - A equação da reta tangente no ponto
tem a forma ponto-inclinação
Passo 2
Calculemos a ordenada do ponto de tangência, isto é
.
Primeiro lembrete rápido: para qualquer base positiva não nula, temos
. Então
Portanto o ponto de tangência tem coordenadas
.
Passo 3
Esclarecimento sobre a reta tangente: a derivada
dá a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico no ponto
. Assim, usando a forma ponto-inclinação com
, a reta tangente é
Logo precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos derivar
. Usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Definimos
e
.
- A derivada de
é . - Para
, usamos que a derivada de é . Aqui e , logo . Assim
Aplicando a regra do produto
, obtemos
Fatorando
e
, podemos reescrever de forma mais compacta:
Passo 5
Agora avaliamo
. Substituindo
na expressão fatorada:
-
. - Dentro do parêntese:
.
Logo
Observação prática: se por acaso
for a base de Euler (isto é,
), então
e
.
Passo 6
Finalmente montamos a equação da reta tangente usando
. Substituindo
e
, obtemos
(Se
, a reta fica
.)
Resposta
(se