Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
f(x, y)=\operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)

Passo 1

O enunciado fornece a função \displaystyle f(x,y)=\operatorname{tg}^{-1}\!\left(\frac{y}{x}\right) e pede três coisas:
  1. Encontrar o domínio de f.
  2. Encontrar a imagem (conjunto de valores) de f.
  3. Descrever as curvas de nível de f (isto é, os conjuntos \{(x,y): f(x,y)=c\} para constantes c).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
f(x,y)=\operatorname{tg}^{-1}\!\left(\frac{y}{x}\right).
Não há outras figuras ou tabelas; tudo que precisamos vem dessa expressão.

Passo 2

Primeiro vamos entender o que é \operatorname{tg}^{-1} (que é a notação para a função arco-tangente, também escrita \arctan). Algumas propriedades essenciais, que usarei depois:
  • A função \arctan\colon\mathbb{R}\to\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) está definida para todo número real. Ou seja, para qualquer t\in\mathbb{R} existe \arctan(t) e \arctan(t)\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).
  • A função \tan é a inversa de \arctan quando restringida ao intervalo \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right): se c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) então \tan\text{(c)} é um número real e \arctan(\tan\text{(c)})=c.
    Vou usar essas propriedades para achar domínio e imagem e, em seguida, para obter as curvas de nível.

Passo 3

Determinar o domínio: a expressão \displaystyle \frac{y}{x} só faz sentido (no sentido de número real) quando x\neq 0. Não há nenhuma outra restrição, porque \arctan aceita qualquer real como entrada. Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) com x\neq 0.
Em notação:
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}.
Vou comentar intuitivamente: isso é o plano inteiro, exceto a reta vertical x=0 (aqui a razão y/x não está definida). O ponto (0,0) também está excluído, claro, porque tem x=0.

Passo 4

Determinar a imagem: como f(x,y)=\arctan\!\big(\tfrac{y}{x}\big), o argumento da \arctan varia sobre todos os números reais (porque \tfrac{y}{x} pode ser qualquer número real quando (x,y) percorre o domínio — por exemplo, tomando x=1 e variando y qualquer real, obtemos qualquer razão real). Como a função \arctan mapeia \mathbb{R} exatamente em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right), a imagem de f é esse intervalo aberto.
Prova direta de que toda constante c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) aparece como valor de f: dado tal c, tome x=1 e y=\tan\text{(c)}. Então x\neq 0 e
f(1,\tan\text{(c)})=\arctan\!\big(\tfrac{\tan\text{(c)}}{1}\big)=\arctan(\tan\text{(c)})=c.
Isso mostra que qualquer c do intervalo é atingido. E como \arctan nunca dá \pm\tfrac{\pi}{2}, esses extremos não pertencem à imagem.
Assim:
\operatorname{Im}(f)=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right).

Passo 5

Descrever as curvas de nível: uma curva de nível associada a uma constante c é o conjunto de pontos (x,y) no domínio tais que f(x,y)=c. Começamos da equação
\operatorname{tg}^{-1}\!\left(\frac{y}{x}\right)=c.
Aplicando \tan dos dois lados (lembrando que isso é legítimo quando c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)), obtemos
\frac{y}{x}=\tan\text{(c)}.
Multiplicando por x (lembrando que x\neq 0 no domínio),
y=(\tan c)\,x.
Portanto cada curva de nível é uma reta passando pela origem com declividade (coeficiente angular) \tan c.
Formalmente: para c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
\{(x,y): f(x,y)=c\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0,\; y=(\tan c)\,x\}.
Observações didáticas e importantes para a prova:
  • Cada valor c produz a reta y=(\tan c)\,x, mas o ponto (0,0) está sempre excluído (porque x\neq 0). Então, na prática, a curva de nível é a reta através da origem com o próprio ponto da origem removido.
  • À medida que c\to\tfrac{\pi}{2}^- a inclinação \tan c\to+\infty, então as curvas de nível “se aproximam” da reta vertical x=0, que no entanto não pertence ao domínio (justificativa para a exclusão de x=0).
  • Exemplos concretos: para c=0 temos \tan 0=0 e a curva é a reta y=0 (o eixo x), sem o ponto (0,0). Para c=\tfrac{\pi}{4} temos \tan(\tfrac{\pi}{4})=1 e a curva é y=x (sem a origem). Para c=-\tfrac{\pi}{4} temos y=-x, e assim por diante.
  • Observação sobre periodicidade da tangente: \tan é periódica de período \pi, mas aqui não usamos outros ramos porque a \operatorname{tg}^{-1} retorna apenas valores em \left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right). Logo cada curva de nível corresponde a um único c nesse intervalo, e cada inclinação real é obtida por um único c nesse intervalo (ou seja, há bijeção entre c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) e as inclinações m\in\mathbb{R} por m=\tan c).

Passo 6

Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
  • Para o domínio: identifique expressões do tipo \tfrac{y}{x} e exclua x=0.
  • Para a imagem: use que \arctan(\mathbb{R})=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right); mostrar um exemplo que atinge qualquer valor c (p.ex. (1,\tan c)).
  • Para curvas de nível f(x,y)=c: isole a razão e obtenha y=(\tan c)\,x; recognize como retas através da origem (com origem excluída).
    Boa! Essas etapas resolvem o problema e te dão um jeito rápido de lembrar isso na prova.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0\}
\operatorname{Im}(f)=\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right)
As curvas de nível são, para cada c\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right),
\{(x,y):f(x,y)=c\}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\neq 0,\; y=(\tan c)\,x\},
isto é, retas que passam pela origem com coeficiente angular \tan c (com o ponto (0,0) excluído).

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