Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores) de
. - Descrever as curvas de nível de
(isto é, os conjuntos para constantes ).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Não há outras figuras ou tabelas; tudo que precisamos vem dessa expressão.
Passo 2
Primeiro vamos entender o que é
(que é a notação para a função arco-tangente, também escrita
). Algumas propriedades essenciais, que usarei depois:
- A função
está definida para todo número real. Ou seja, para qualquer existe e . - A função
é a inversa de quando restringida ao intervalo : se então é um número real e .
Vou usar essas propriedades para achar domínio e imagem e, em seguida, para obter as curvas de nível.
Passo 3
Determinar o domínio: a expressão
só faz sentido (no sentido de número real) quando
. Não há nenhuma outra restrição, porque
aceita qualquer real como entrada. Portanto o domínio é o conjunto de todos os pares
com
.
Em notação:
Vou comentar intuitivamente: isso é o plano inteiro, exceto a reta vertical
(aqui a razão
não está definida). O ponto
também está excluído, claro, porque tem
.
Passo 4
Determinar a imagem: como
, o argumento da
varia sobre todos os números reais (porque
pode ser qualquer número real quando
percorre o domínio — por exemplo, tomando
e variando
qualquer real, obtemos qualquer razão real). Como a função
mapeia
exatamente em
, a imagem de
é esse intervalo aberto.
Prova direta de que toda constante
aparece como valor de
: dado tal
, tome
e
. Então
e
Isso mostra que qualquer
do intervalo é atingido. E como
nunca dá
, esses extremos não pertencem à imagem.
Assim:
Passo 5
Descrever as curvas de nível: uma curva de nível associada a uma constante
é o conjunto de pontos
no domínio tais que
. Começamos da equação
Aplicando
dos dois lados (lembrando que isso é legítimo quando
), obtemos
Multiplicando por
(lembrando que
no domínio),
Portanto cada curva de nível é uma reta passando pela origem com declividade (coeficiente angular)
.
Formalmente: para
,
Observações didáticas e importantes para a prova:
- Cada valor
produz a reta , mas o ponto está sempre excluído (porque ). Então, na prática, a curva de nível é a reta através da origem com o próprio ponto da origem removido. - À medida que
a inclinação , então as curvas de nível “se aproximam” da reta vertical , que no entanto não pertence ao domínio (justificativa para a exclusão de ). - Exemplos concretos: para
temos e a curva é a reta (o eixo ), sem o ponto . Para temos e a curva é (sem a origem). Para temos , e assim por diante. - Observação sobre periodicidade da tangente:
é periódica de período , mas aqui não usamos outros ramos porque a retorna apenas valores em . Logo cada curva de nível corresponde a um único nesse intervalo, e cada inclinação real é obtida por um único nesse intervalo (ou seja, há bijeção entre e as inclinações por ).
Passo 6
Resumo prático para a prova (como aplicar rápido):
- Para o domínio: identifique expressões do tipo
e exclua . - Para a imagem: use que
; mostrar um exemplo que atinge qualquer valor (p.ex. ). - Para curvas de nível
: isole a razão e obtenha ; recognize como retas através da origem (com origem excluída).
Boa! Essas etapas resolvem o problema e te dão um jeito rápido de lembrar isso na prova.
Resposta
As curvas de nível são, para cada
isto é, retas que passam pela origem com coeficiente angular
(com o ponto
excluído).