Considere a função g dada por
g(x)=2 x^{2}-6 x, se x \leq 1
\ln (x+1), se x \geq 1
a) determine g_{+}^{\prime}(1) e g_{-}^{\prime}(1).
b) A função g é diferenciável em \mathrm{x}=1 ? A função g é contínua em \mathrm{x}= 1? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função g\) por partes: \[g(x)= \begin{cases} 2x^{2}-6x, & \text{se } x\leq 1,\\[4pt] \ln(x+1), & \text{se } x\geq 1. \end{cases}
As perguntas são:
  1. Determinar g_{+}^{\prime}(1)\] e \(g_{-}^{\prime}(1).
  2. A função g é diferenciável em x=1? A função g é contínua em x=1? Justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x à esquerda de 1 (incluindo x=1 pelo enunciado), g(x)=2x^{2}-6x. Assim g(1) segundo essa definição é g(1)=2\cdot1^{2}-6\cdot1=-4.
  • Para x à direita de 1 (também escrito como \geq 1, mas vamos usar a informação das duas expressões para calcular limites unilaterais), g(x)=\ln(x+1).
  • Vamos precisar dos conceitos de derivada unilateral, derivada de funções elementares e de continuidade.]

Passo 2

Relembrando conceitos (bem mastigado):
  • A derivada lateral à esquerda em x=1, g_{-}^{\prime}(1), é o limite
g_{-}^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0^-}\frac{g(1+h)-g(1)}{h},
ou equivalentemente \displaystyle\lim_{x\to1^-}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}.
  • A derivada lateral à direita em x=1, g_{+}^{\prime}(1), é o limite
g_{+}^{\prime}(1)=\lim_{h\to 0^+}\frac{g(1+h)-g(1)}{h},
ou \displaystyle\lim_{x\to1^+}\frac{g(x)-g(1)}{x-1}.
  • Se g for diferenciável em 1, então essas duas derivadas laterais devem existir e ser iguais.
  • Continuidade em x=1: precisamos que \displaystyle\lim_{x\to1^-}g(x)=\lim_{x\to1^+}g(x)=g(1).
Vou usar derivadas conhecidas (regras básicas) para as partes suaves:
  • Regra de potência e linearidade: se p(x)=2x^{2}-6x, então p'(x)=4x-6. (Explicando: derivada de x^2 é 2x, multiplicando pelo 2 dá 4x; derivada de -6x é -6.)
  • Derivada do logaritmo: se q(x)=\ln(x+1), então q'(x)=\dfrac{1}{x+1}. (Explicando: \dfrac{d}{dx}\ln(u)=\dfrac{u'}{u}; aqui u=x+1 tem u'=1, logo q'(x)=1/(x+1).)

Passo 3

Cálculo de g_{-}^{\prime}(1) (derivada pela esquerda).
  • Para x<1 usamos a expressão g(x)=2x^{2}-6x. Como essa expressão é uma polinomial, sua derivada clássica vale 4x-6.
  • Portanto a derivada à esquerda em 1 é o valor dessa expressão em x=1:
g_{-}^{\prime}(1)=4\cdot 1 - 6 = -2.
Comentário prático: isso também coincide com o limite pela definição, mas usar a regra de potência é mais direto numa prova.

Passo 4

Cálculo de g_{+}^{\prime}(1) (derivada pela direita).
  • Para x>1 usamos a expressão g(x)=\ln(x+1). A derivada dessa função é 1/(x+1).
  • Avaliando em x=1 (tomando o limite pela direita), obtemos
g_{+}^{\prime}(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Novamente, isso corresponde ao limite \lim_{x\to1^+}\dfrac{\ln(x+1)-\ln(2)}{x-1} se g(1) fosse \ln(2); porém lembrando que, pelo enunciado (ramo x\le 1), aceitamos g(1)=-4. Aqui usamos a ideia usual: a derivada lateral da parte direita é o valor do derivado da expressão \ln(x+1) avaliada em 1, ou seja 1/2.

Passo 5

Interpretação e observação importante sobre o valor em x=1.
  • Pelo enunciado dado, a parte para x\le 1 atribui g(1)=-4. A parte para x\ge1 dá o valor de limite pela direita \lim_{x\to1^+}\ln(x+1)=\ln 2. Como -4\neq\ln 2, os limites laterais do valor da função em 1 não coincidem.
  • Portanto a função não é contínua em x=1, já que
\lim_{x\to1^-}g(x)= -4\quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}g(x)=\ln 2,
e esses dois números são diferentes.

Passo 6

Conclusão sobre diferenciabilidade.
  • Uma consequência básica (e importante) é: se uma função é diferenciável em um ponto então ela é contínua nesse ponto. Aqui vimos que g não é contínua em 1; logo g não pode ser diferenciável em 1.
  • Além disso, as derivadas laterais que calculamos são diferentes:
g_{-}^{\prime}(1)=-2\quad\text{e}\quad g_{+}^{\prime}(1)=\tfrac{1}{2},
o que também impede diferenciabilidade (porque para ser diferenciável precisaríamos dessas duas derivadas laterais existirem e serem iguais).

Resposta

a) g_{+}^{\prime}(1)=\dfrac{1}{2},\quad g_{-}^{\prime}(1)=-2.
b) A função g não é diferenciável em x=1.
A função g não é contínua em x=1.

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