Considere a função
dada por
, se
, se
a) determine
e
.
b) A função g é diferenciável em
? A função g é contínua em
1? Justifique.
a) determine
b) A função g é diferenciável em
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são:
- Determinar .
- A função
é diferenciável em ? A função é contínua em ? Justificar.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Para
à esquerda de (incluindo pelo enunciado), . Assim segundo essa definição é . - Para
à direita de (também escrito como , mas vamos usar a informação das duas expressões para calcular limites unilaterais), . - Vamos precisar dos conceitos de derivada unilateral, derivada de funções elementares e de continuidade.]
Passo 2
Relembrando conceitos (bem mastigado):
- A derivada lateral à esquerda em
, , é o limite
ou equivalentemente
.
- A derivada lateral à direita em
, , é o limite
ou
.
- Se
for diferenciável em , então essas duas derivadas laterais devem existir e ser iguais. - Continuidade em
: precisamos que .
Vou usar derivadas conhecidas (regras básicas) para as partes suaves:
- Regra de potência e linearidade: se
, então . (Explicando: derivada de é , multiplicando pelo 2 dá ; derivada de é .) - Derivada do logaritmo: se
, então . (Explicando: ; aqui tem , logo .)
Passo 3
Cálculo de
(derivada pela esquerda).
- Para
usamos a expressão . Como essa expressão é uma polinomial, sua derivada clássica vale . - Portanto a derivada à esquerda em
é o valor dessa expressão em :
Comentário prático: isso também coincide com o limite pela definição, mas usar a regra de potência é mais direto numa prova.
Passo 4
Cálculo de
(derivada pela direita).
- Para
usamos a expressão . A derivada dessa função é . - Avaliando em
(tomando o limite pela direita), obtemos
Novamente, isso corresponde ao limite
se
fosse
; porém lembrando que, pelo enunciado (ramo
), aceitamos
. Aqui usamos a ideia usual: a derivada lateral da parte direita é o valor do derivado da expressão
avaliada em
, ou seja
.
Passo 5
Interpretação e observação importante sobre o valor em
.
- Pelo enunciado dado, a parte para
atribui . A parte para dá o valor de limite pela direita . Como , os limites laterais do valor da função em não coincidem. - Portanto a função não é contínua em
, já que
e esses dois números são diferentes.
Passo 6
Conclusão sobre diferenciabilidade.
- Uma consequência básica (e importante) é: se uma função é diferenciável em um ponto então ela é contínua nesse ponto. Aqui vimos que
não é contínua em ; logo não pode ser diferenciável em . - Além disso, as derivadas laterais que calculamos são diferentes:
o que também impede diferenciabilidade (porque para ser diferenciável precisaríamos dessas duas derivadas laterais existirem e serem iguais).
Resposta
a)
b) A função não é diferenciável em
.
A função não é contínua em
.
b) A função
A função