Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- Encontrar o domínio de
. - Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de
. - Descrever as curvas de nível de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função é a função arco-seno aplicada à expressão
, ou seja, o argumento de é . - Não há outras restrições explícitas no enunciado além das inerentes à função
.
Passo 2
O que é
(arco-seno) e quais são suas propriedades importantes para a questão?
- A função seno usual
tem imagem contida em . Logo, o inverso só está definido quando o seu argumento pertence a . - O arco-seno principal tem domínio
e imagem (valor principal) . Em símbolos:
-
é estritamente crescente em : se então .
Essas propriedades dizem imediatamente quais restrições o argumento
precisa satisfazer e qual será o intervalo de valores possíveis de
.
Passo 3
Encontrar o domínio de
.
- Como o argumento de
é , precisamos que
- Reescrevendo essa desigualdade em termos de
, obtemos duas inequações:
- Portanto o domínio
é o conjunto de pontos tais que . Em forma mais compacta:
- Interpretação geométrica (útil para a prova):
é uma faixa (um “strip”) no plano delimitada pelas retas e . As duas retas são incluídas (porque as desigualdades são não estritas).
Passo 4
Mostrar de forma explícita que esses pontos realmente estão no domínio e dar uma forma alternativa útil.
- Se
satisfaz , então e está bem definido; logo . - Forma alternativa e prática para o domínio: para qualquer
, os válidos são os valores em . Isso é prático na prova: "pega um qualquer, precisa estar entre e ".
Passo 5
Encontrar a imagem (conjunto de valores) de
.
- Pelo passo 2 sabemos que a imagem da função arco-seno principal é
quando o argumento percorre todo . - No domínio
o argumento assume todos os valores em — por exemplo, para qualquer podemos escolher e (esse ponto satisfaz ), logo é alcançado como argumento. - Assim o conjunto de valores de
(a imagem) é exatamente
- Observação prática para a prova: dado qualquer
nesse intervalo, existe pelo menos um ponto tal que ; por exemplo, tomar e funciona, porque .
Passo 6
Descrever as curvas de nível de
.
- Curva de nível para um valor
é o conjunto
- Escrevemos a equação do nível:
- Aplicando
(função seno) aos dois lados, tendo cuidado com a validade (somente faz sentido se estiver na imagem de ), obtemos
- Portanto, para cada
a curva de nível é a reta
- Geometria e observações úteis:
- Todas as curvas de nível são retas com coeficiente angular
(são paralelas entre si). - O parâmetro que desloca a reta verticalmente é
, que varia entre e . - Quando
temos e a curva de nível é . - Quando
temos e a curva de nível é a reta (a borda superior do domínio). - Quando
a curva de nível é (a borda inferior do domínio). - Para
fora de não existem curvas de nível (conjunto vazio), porque não atinge esses valores.
- Todas as curvas de nível são retas com coeficiente angular
Resposta
Domínio:
(equivalente a
).\n
Imagem: .\n
Curvas de nível: para cada a curva de nível é a reta
; para
fora desse intervalo a curva de nível é vazia.
Imagem:
Curvas de nível: para cada