Nos itens abaixo, encontre o domínio da função; encontre a imagem da função; descreva as curvas de nível da função.
f(x, y)=\operatorname{sen}^{-1}(y-x)

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x,y)=\operatorname{sen}^{-1}(y-x)\; e pede três coisas:
  1. Encontrar o domínio de f.
  2. Encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis) de f.
  3. Descrever as curvas de nível de f.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função é a função arco-seno aplicada à expressão (y-x), ou seja, o argumento de \operatorname{sen}^{-1} é y-x.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado além das inerentes à função \operatorname{sen}^{-1}.

Passo 2

O que é \operatorname{sen}^{-1} (arco-seno) e quais são suas propriedades importantes para a questão?
  • A função seno usual \operatorname{sen}(t) tem imagem contida em [-1,1]. Logo, o inverso \operatorname{sen}^{-1} só está definido quando o seu argumento pertence a [-1,1].
  • O arco-seno principal tem domínio [-1,1] e imagem (valor principal) [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. Em símbolos:
\operatorname{dom}(\operatorname{sen}^{-1})=[-1,1],\qquad \operatorname{Im}(\operatorname{sen}^{-1})=\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • \operatorname{sen}^{-1} é estritamente crescente em [-1,1]: se u_1<u_2 então \operatorname{sen}^{-1}(u_1)<\operatorname{sen}^{-1}(u_2).
Essas propriedades dizem imediatamente quais restrições o argumento y-x precisa satisfazer e qual será o intervalo de valores possíveis de f.

Passo 3

Encontrar o domínio de f.
  • Como o argumento de \operatorname{sen}^{-1} é (y-x), precisamos que
-1 \le y-x \le 1.
  • Reescrevendo essa desigualdade em termos de y, obtemos duas inequações:
y-x \ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad y \ge x-1,
y-x \le 1 \quad\Longleftrightarrow\quad y \le x+1.
  • Portanto o domínio D é o conjunto de pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 tais que x-1 \le y \le x+1. Em forma mais compacta:
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y-x \le 1\}.
  • Interpretação geométrica (útil para a prova): D é uma faixa (um “strip”) no plano delimitada pelas retas \;y=x-1\; e \;y=x+1\;. As duas retas são incluídas (porque as desigualdades são não estritas).

Passo 4

Mostrar de forma explícita que esses pontos realmente estão no domínio e dar uma forma alternativa útil.
  • Se (x,y) satisfaz -1\le y-x\le1, então (y-x)\in[-1,1] e \operatorname{sen}^{-1}(y-x) está bem definido; logo (x,y)\in D.
  • Forma alternativa e prática para o domínio: para qualquer x\in\mathbb{R}, os y válidos são os valores em [x-1,x+1]. Isso é prático na prova: "pega um x qualquer, y precisa estar entre x-1 e x+1".

Passo 5

Encontrar a imagem (conjunto de valores) de f.
  • Pelo passo 2 sabemos que a imagem da função arco-seno principal é \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] quando o argumento percorre todo [-1,1].
  • No domínio D o argumento y-x assume todos os valores em [-1,1] — por exemplo, para qualquer u\in[-1,1] podemos escolher x=0 e y=u (esse ponto satisfaz y-x=u\in[-1,1]), logo u é alcançado como argumento.
  • Assim o conjunto de valores de f (a imagem) é exatamente
\operatorname{Im}(f)=\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
  • Observação prática para a prova: dado qualquer c nesse intervalo, existe pelo menos um ponto (x,y)\in D tal que f(x,y)=c; por exemplo, tomar x=0 e y=\operatorname{sen}\text{(c)} funciona, porque \operatorname{sen}\text{(c)}\in[-1,1].

Passo 6

Descrever as curvas de nível de f.
  • Curva de nível para um valor c é o conjunto
\{(x,y)\in D \mid f(x,y)=c\}.
  • Escrevemos a equação do nível:
f(x,y)=c \quad\Longleftrightarrow\quad \operatorname{sen}^{-1}(y-x)=c.
  • Aplicando \operatorname{sen} (função seno) aos dois lados, tendo cuidado com a validade (somente faz sentido se c estiver na imagem de f), obtemos
y-x=\operatorname{sen}\text{(c)}.
  • Portanto, para cada c\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] a curva de nível é a reta
y = x + \operatorname{sen}\text{(c)}.
  • Geometria e observações úteis:
    • Todas as curvas de nível são retas com coeficiente angular 1 (são paralelas entre si).
    • O parâmetro que desloca a reta verticalmente é \operatorname{sen}\text{(c)}, que varia entre -1 e 1.
    • Quando c=0 temos \operatorname{sen}(0)=0 e a curva de nível é \;y=x\;.
    • Quando c=\tfrac{\pi}{2} temos \operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=1 e a curva de nível é a reta \;y=x+1\; (a borda superior do domínio).
    • Quando c=-\tfrac{\pi}{2} a curva de nível é \;y=x-1\; (a borda inferior do domínio).
    • Para c fora de \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] não existem curvas de nível (conjunto vazio), porque f não atinge esses valores.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid -1 \le y-x \le 1\} (equivalente a x-1\le y\le x+1).\n
Imagem: \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].\n
Curvas de nível: para cada c\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] a curva de nível é a reta \;y = x + \operatorname{sen}\text{(c)}\;; para c fora desse intervalo a curva de nível é vazia.

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