1. Seja f(x)=\frac{\ln (x+1)}{x}. Verifique se a função é contínua em x=0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x) = \frac{\ln(x+1)}{x}
e pede para verificar se ela é contínua em x=0. Para isso, vamos usar a definição de continuidade em um ponto a:
  1. f(a) deve estar definida;
  2. \lim_{x\to a}f(x) deve existir;
  3. os dois valores devem ser iguais: \lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 2

Verificamos o domínio de f: \ln(x+1) exige x+1>0, ou seja x>-1, e o denominador x\neq0.
Portanto o domínio é (-1,0)\cup(0,\infty), de modo que f(0) não está definida.

Passo 3

Mesmo sem f(0) definida, calculamos o limite lateral \lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}.
Note que ao substituir x=0 obtemos a forma indeterminada 0/0, então aplicamos a regra de l’Hôpital:
\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\frac{d}{dx}[x]} =\lim_{x\to0}\frac{\tfrac1{\,1+x\,}}{1} =\frac1{1+0}=1.

Passo 4

Concluímos que \lim_{x\to0}f(x)=1,
porém f(0) não existe. Logo, a função original não é contínua em x=0.
Trata-se de uma descontinuidade removível, pois se definíssemos
f(0)=1,
então teríamos \lim_{x\to0}f(x)=f(0) e a função estendida seria contínua em 0.

Resposta

A função não é contínua em x=0 porque f(0) não está definida, embora \lim_{x\to0}f(x)=1 (descontinuidade removível).

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