1. Estude a continuidade da função:
f(x)= \begin{cases}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\\\ 1, & x=0\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sin x}{x}, & x\neq 0,\\[6pt] 1, & x=0. \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, precisamos verificar se f\] é contínua em cada ponto do domínio: primeiro em \(x\neq 0 e depois em x=0.]

Passo 2

Para x\neq 0 a expressão \sin x é contínua e a função identidade x também é contínua, e como x\neq 0 o denominador nunca se anula, o quociente
\dfrac{\sin x}{x}
é contínuo em todo ponto onde está definido. Logo, f é contínua em cada x\neq 0.

Passo 3

Para testar continuidade em x=0, calculamos o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}.
É um resultado clássico de cálculo que
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Como o valor de f em 0 foi definido como f(0)=1, esse limite coincide com f(0). Portanto, f é contínua em x=0.

Resposta

A função f é contínua para todo x\in\mathbb{R}.

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