Calcule os seguintes limites, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte limite:
Informações relevantes dadas:
- A função tem um valor absoluto
. - Há um denominador
que anula em , ou seja, a função não está definida em , mas o ponto de interesse é .
O objetivo é determinar se esse limite existe quandose aproxima de e, em caso afirmativo, calcular seu valor.
Passo 2
Entender o valor absoluto perto de
Explicando devagar: para decidir qual ramo usar, checamos o sinal de
está próximo de
. Como
, existe um intervalo aberto ao redor de
(por exemplo
) em que sempre vale
. Portanto, ao calcular um limite quando
, podemos usar o ramo
(o ramo positivo do valor absoluto) — porque ao nos aproximarmos de
os
relevantes satisfazem
.]
Passo 3
Substituir
pelo ramo apropriado para
perto de
:
Assim a expressão dentro do limite fica
para
próximo de
. Aqui fiz uma simplificação aritmética: somei
com
para obter
.
Passo 4
Agora avaliamos o limite da função racional obtida. Observações importantes:
- Uma razão de polinômios
é contínua em pontos onde o denominador não é zero. - Como o ponto de interesse é
e , podemos simplesmente substituir na expressão simplificada para obter o limite (propriedade da continuidade de polinômios e quocientes quando o denominador é não nulo).
Calculando:
Passo 5
Resumo do raciocínio final (tranquilo, você se saiu bem):
- Perto de
vale . - A expressão simplifica para
. - Substituindo
(denominador não nulo) obtém-se .
Portanto o limite existe e é.