Calcule os seguintes limites, caso existam.
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{|x+2|+1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte limite:
\lim_{x\to 5} \frac{|x+2|+1}{x+1}.
Informações relevantes dadas:
  • A função tem um valor absoluto |x+2|.
  • Há um denominador x+1 que anula em x=-1, ou seja, a função não está definida em x=-1, mas o ponto de interesse é x=5.
    O objetivo é determinar se esse limite existe quando x se aproxima de 5 e, em caso afirmativo, calcular seu valor.

Passo 2

Entender o valor absoluto perto de x=5\). Lembre que a função valor absoluto é dada por partes: \[|x+2| = \begin{cases} x+2, & \text{se } x+2 \ge 0,\\[4pt] -(x+2), & \text{se } x+2 < 0. \end{cases}
Explicando devagar: para decidir qual ramo usar, checamos o sinal de x+2\] quando \(x está próximo de 5. Como 5+2=7>0, existe um intervalo aberto ao redor de 5 (por exemplo (3,7)) em que sempre vale x+2>0. Portanto, ao calcular um limite quando x\to5, podemos usar o ramo x+2 (o ramo positivo do valor absoluto) — porque ao nos aproximarmos de 5 os x relevantes satisfazem x+2>0.]

Passo 3

Substituir |x+2| pelo ramo apropriado para x perto de 5:
|x+2| = x+2 \quad\text{(para \(x\) suficientemente próximo de \(5\))}.ó
Assim a expressão dentro do limite fica
\frac{|x+2|+1}{x+1} = \frac{(x+2)+1}{x+1} = \frac{x+3}{x+1},
para x próximo de 5. Aqui fiz uma simplificação aritmética: somei x+2 com 1 para obter x+3.

Passo 4

Agora avaliamos o limite da função racional obtida. Observações importantes:
  • Uma razão de polinômios \dfrac{x+3}{x+1} é contínua em pontos onde o denominador não é zero.
  • Como o ponto de interesse é x=5 e 5+1=6\neq 0, podemos simplesmente substituir x=5 na expressão simplificada para obter o limite (propriedade da continuidade de polinômios e quocientes quando o denominador é não nulo).
    Calculando:
\frac{5+3}{5+1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

Passo 5

Resumo do raciocínio final (tranquilo, você se saiu bem):
  • Perto de x=5 vale |x+2|=x+2.
  • A expressão simplifica para \dfrac{x+3}{x+1}.
  • Substituindo x=5 (denominador não nulo) obtém-se \dfrac{4}{3}.
    Portanto o limite existe e é \dfrac{4}{3}.

Resposta

\dfrac{4}{3}

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