Seja
Determine
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede. Foi dado
. O pedido é:
- Determinar
Dados relevantes que já temos do enunciado:
- A função
está definida por . - O ponto onde o limite é pedido é
.
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Calcular
(é um dado que vamos usar muitas vezes).
Passo 3
Escrever explicitamente o limite que queremos calcular, já substituindo
:
Passo 4
Plano de ação (por que usar essa técnica): a expressão tem uma diferença com raiz no numerador e um fator linear no denominador. Uma técnica clássica e elementar para esse tipo de expressão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é
. O conjugado elimina a raiz quando multiplicado pela diferença, transformando a diferença de quadrados em expressão sem raízes — isso costuma permitir cancelar o fator
.
Passo 5
Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado e simplificar passo a passo:
No numerador aplicamos a identidade
com
e
:
Assim a fração fica
Passo 6
Cancelar o fator comum
. Isso é válido porque, para o limite, consideramos valores de
diferentes de
que se aproximam de
; para esses
o cancelamento é permitido. Após cancelar:
Passo 7
Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua no ponto
, podemos tomar o limite substituindo
por
:
Passo 8
Comentário didático extra (interpretação como derivada). A expressão dada é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de
em
:
Se usar regras de derivação:
e, aplicando a regra de potência e a regra da cadeia,
Portanto
o mesmo resultado obtido pela racionalização. Essa interpretação é útil para reconhecer rapidamente limites do tipo “diferença sobre diferença” como derivadas.