Seja g(x)=\sqrt{x+2 .} \quad Determine \lim _{x \rightarrow 7} \frac{g(x)-g(7)}{x-7}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede. Foi dado g(x)=\sqrt{x+2}. O pedido é:
  • Determinar \displaystyle \lim_{x\to7}\frac{g(x)-g(7)}{x-7}.
Dados relevantes que já temos do enunciado:
  • A função g está definida por g(x)=\sqrt{x+2}.
  • O ponto onde o limite é pedido é x=7.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Calcular g(7) (é um dado que vamos usar muitas vezes).
g(7)=\sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3.

Passo 3

Escrever explicitamente o limite que queremos calcular, já substituindo g(7)=3:
\lim_{x\to7}\frac{g(x)-g(7)}{x-7} = \lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}.

Passo 4

Plano de ação (por que usar essa técnica): a expressão tem uma diferença com raiz no numerador e um fator linear no denominador. Uma técnica clássica e elementar para esse tipo de expressão é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{x+2}+3. O conjugado elimina a raiz quando multiplicado pela diferença, transformando a diferença de quadrados em expressão sem raízes — isso costuma permitir cancelar o fator (x-7).

Passo 5

Multiplicar numerador e denominador pelo conjugado e simplificar passo a passo:
\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}\cdot\frac{\sqrt{x+2}+3}{\sqrt{x+2}+3} = \frac{(\sqrt{x+2}-3)(\sqrt{x+2}+3)}{(x-7)\bigl(\sqrt{x+2}+3\bigr)}.
No numerador aplicamos a identidade (a-b)(a+b)=a^2-b^2 com a=\sqrt{x+2} e b=3:
(\sqrt{x+2})^2-3^2=(x+2)-9=x-7.
Assim a fração fica
\frac{x-7}{(x-7)\bigl(\sqrt{x+2}+3\bigr)}.

Passo 6

Cancelar o fator comum (x-7). Isso é válido porque, para o limite, consideramos valores de x diferentes de 7 que se aproximam de 7; para esses x o cancelamento é permitido. Após cancelar:
\frac{x-7}{(x-7)\bigl(\sqrt{x+2}+3\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{x+2}+3}\qquad (x\neq7).

Passo 7

Agora que a expressão foi simplificada para uma função contínua no ponto x=7, podemos tomar o limite substituindo x por 7:
\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} = \lim_{x\to7}\frac{1}{\sqrt{x+2}+3} = \frac{1}{\sqrt{7+2}+3} = \frac{1}{\sqrt{9}+3} = \frac{1}{3+3} = \frac{1}{6}.

Passo 8

Comentário didático extra (interpretação como derivada). A expressão dada é exatamente o quociente de diferença que define a derivada de g em 7:
\lim_{x\to7}\frac{g(x)-g(7)}{x-7}=g'(7).
Se usar regras de derivação: g(x)=(x+2)^{1/2} e, aplicando a regra de potência e a regra da cadeia,
g'(x)=\tfrac{1}{2}(x+2)^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}.
Portanto
g'(7)=\frac{1}{2\sqrt{7+2}}=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6},
o mesmo resultado obtido pela racionalização. Essa interpretação é útil para reconhecer rapidamente limites do tipo “diferença sobre diferença” como derivadas.

Resposta

\dfrac{1}{6}

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