Seja f(x) uma função arbitrária definida na reta real.
Mostre que a função f^{-}(x) definida por
f^{-}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}
é ímpar.

Passo 1

O enunciado define uma função arbitrária f\colon \mathbb R\to\mathbb R e introduz a função
f^{-}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}.
O objetivo é mostrar que f^{-} é ímpar, ou seja, que ela satisfaz a condição
f^{-}(-x) = -\,f^{-}(x)
para todo x\in\mathbb R.

Passo 2

Lembramos que uma função g é ímpar se, e somente se, para todo x\in\mathbb R,
g(-x) = -\,g(x).
Portanto, para provar que f^{-} é ímpar basta verificar essa igualdade.

Passo 3

Vamos calcular f^{-}(-x) usando sua definição:
f^{-}(-x) = \frac{f(-x) - f\bigl(-(-x)\bigr)}{2} = \frac{f(-x) - f(x)}{2} = -\,\frac{f(x)-f(-x)}{2} = -\,f^{-}(x).

Passo 4

Como obtivemos
f^{-}(-x) = -\,f^{-}(x)
para todo x\in\mathbb R, concluímos que f^{-} é de fato uma função ímpar.

Resposta

A função f^{-} é ímpar.

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