Seja f(x) uma função periódica de período 2 L definida por f(x)=x para -L<x<L.
b) Determine sua expansão em uma série de senos e faça o gráfico da expansão
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função é dada por f(x)=x para -L<x<L.
A função é periódica de período 2L (ou seja, f(x+2L)=f(x) para todo x).
O que se pede em (b): (i) determinar a expansão de f em uma série de senos; (ii) fazer (descrever) o gráfico da expansão.
Passo 2
Primeira observação sobre a função, que nos ajuda a escolher a forma da série: para -L<x<L tem-se f(-x)=-x=-f(x). Logo, f é uma função ímpar no intervalo (-L,L) e sua extensão periódica de período 2L também é ímpar. Isso implica que, numa série de Fourier na base \{1,\cos(n\pi x/L),\sin(n\pi x/L)\}, todos os coeficientes dos cossenos e o termo constante serão nulos. Assim a série terá apenas termos de seno. Vou usar a forma padrão da série de Fourier por senos:
Como f(x) é ímpar e \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) também é ímpar, o produto f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é uma função par. Por isso podemos simplificar a integral:
Calculo a integral \displaystyle \int_{0}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx por integração por partes. Defino
k=\frac{n\pi}{L}.
Então a integral vira \displaystyle \int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx. Faço integração por partes com u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\frac{\cos(kx)}{k}. Assim
A série converge para f(x)=x em todo ponto interior do intervalo -L<x<L (a função é contínua lá).
Nos pontos das descontinuidades da extensão periódica (isto é, em x=\pm L mod 2L), a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No caso, f(L^{-})=L e f(L^{+})=-L (devido à periodicidade), então a série toma o valor \dfrac{L+(-L)}{2}=0 em x=\pm L.
O gráfico da série truncada (soma parcial com N termos) aproxima um dente de serra (sawtooth): no intervalo -L<x<L a função é a reta y=x. Fora desse intervalo repete-se periodicamente com período 2L. Próximo aos pontos x=\pm L aparece o fenômeno de Gibbs (oscilações ao redor da descontinuidade) que decai em largura conforme N aumenta, mas com amplitude aproximada constante relativa ao salto.
Para desenhar na prática: trace a reta y=x em [-L,L], repita periodicamente com período 2L. Se quiser ver a série aproximando essa forma, some numericamente os primeiros termos
Gráfico: série representa a função dente-de-serra periódica igual a f(x)=x para -L<x<L, repetida com período 2L; nas descontinuidades x=\pm L a série toma o valor 0 e as somas parciais exibem oscilações tipo Gibbs perto desses pontos.