1. Seja f(x) uma função periódica de período 2 L definida por f(x)=x para -L<x<L.
    b) Determine sua expansão em uma série de senos e faça o gráfico da expansão

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função é dada por f(x)=x para -L<x<L.
  • A função é periódica de período 2L (ou seja, f(x+2L)=f(x) para todo x).
  • O que se pede em (b): (i) determinar a expansão de f em uma série de senos; (ii) fazer (descrever) o gráfico da expansão.

Passo 2

Primeira observação sobre a função, que nos ajuda a escolher a forma da série: para -L<x<L tem-se f(-x)=-x=-f(x). Logo, f é uma função ímpar no intervalo (-L,L) e sua extensão periódica de período 2L também é ímpar. Isso implica que, numa série de Fourier na base \{1,\cos(n\pi x/L),\sin(n\pi x/L)\}, todos os coeficientes dos cossenos e o termo constante serão nulos. Assim a série terá apenas termos de seno. Vou usar a forma padrão da série de Fourier por senos:
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

Passo 3

Agora escrevo a fórmula para os coeficientes b_n. Para uma função de período 2L a fórmula geral é
b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Como f(x) é ímpar e \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) também é ímpar, o produto f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é uma função par. Por isso podemos simplificar a integral:
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Substituindo f(x)=x para 0\le x\le L:
b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.

Passo 4

Calculo a integral \displaystyle \int_{0}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx por integração por partes. Defino
k=\frac{n\pi}{L}.
Então a integral vira \displaystyle \int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx. Faço integração por partes com u=x e dv=\sin(kx)\,dx. Então du=dx e v=-\frac{\cos(kx)}{k}. Assim
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx=\left.-\frac{x\cos(kx)}{k}\right|_{0}^{L}+\frac{1}{k}\int_{0}^{L}\cos(kx)\,dx.
A integral restante é simples:
\frac{1}{k}\int_{0}^{L}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\left.\frac{\sin(kx)}{k}\right|_{0}^{L}=\frac{\sin(kL)}{k^{2}}-\frac{\sin(0)}{k^{2}}=\frac{\sin(kL)}{k^{2}}.
Portanto
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx=-\frac{L\cos(kL)}{k}+\frac{\sin(kL)}{k^{2}}.

Passo 5

Agora uso o fato de que kL=\dfrac{n\pi}{L}\cdot L=n\pi. Então \sin(kL)=\sin(n\pi)=0 e \cos(kL)=\cos(n\pi)=(-1)^n. Substituindo na expressão anterior:
\int_{0}^{L} x\sin(kx)\,dx=-\frac{L\cos(kL)}{k}=-\frac{L(-1)^n}{k}.
Lembrando que k=\dfrac{n\pi}{L}, tem-se \dfrac{1}{k}=\dfrac{L}{n\pi}. Logo
\int_{0}^{L} x\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx=-L(-1)^n\cdot\frac{L}{n\pi}=-\frac{L^{2}(-1)^n}{n\pi}.

Passo 6

Volto ao coeficiente b_n:
b_n=\frac{2}{L}\cdot\left(-\frac{L^{2}(-1)^n}{n\pi}\right)=-\frac{2L(-1)^n}{n\pi}.
Posso escrever isso de forma mais habitual tirando o sinal dentro da potência de -1:
b_n=\frac{2L}{n\pi}(-1)^{n+1}.

Passo 7

Portanto a expansão de f(x) em série de senos (a série de Fourier par-impar só com senos) é
f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2L}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Esta é a resposta analítica pedida. Para ver os primeiros termos explícitos:
f(x)\approx \frac{2L}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)-\frac{2L}{2\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)+\frac{2L}{3\pi}\sin\!\left(\frac{3\pi x}{L}\right)-\cdots.
Ou de forma simplificada para os dois primeiros termos:
f(x)\approx \frac{2L}{\pi}\sin\!\left(\frac{\pi x}{L}\right)-\frac{L}{\pi}\sin\!\left(\frac{2\pi x}{L}\right)+\cdots.

Passo 8

Como interpretar e desenhar o gráfico:
  • A série converge para f(x)=x em todo ponto interior do intervalo -L<x<L (a função é contínua lá).
  • Nos pontos das descontinuidades da extensão periódica (isto é, em x=\pm L mod 2L), a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita. No caso, f(L^{-})=L e f(L^{+})=-L (devido à periodicidade), então a série toma o valor \dfrac{L+(-L)}{2}=0 em x=\pm L.
  • O gráfico da série truncada (soma parcial com N termos) aproxima um dente de serra (sawtooth): no intervalo -L<x<L a função é a reta y=x. Fora desse intervalo repete-se periodicamente com período 2L. Próximo aos pontos x=\pm L aparece o fenômeno de Gibbs (oscilações ao redor da descontinuidade) que decai em largura conforme N aumenta, mas com amplitude aproximada constante relativa ao salto.
  • Para desenhar na prática: trace a reta y=x em [-L,L], repita periodicamente com período 2L. Se quiser ver a série aproximando essa forma, some numericamente os primeiros termos
S_N(x)=\sum_{n=1}^{N}\frac{2L}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)
para alguns N (por exemplo N=5,\,20,\,100) e observe a aproximação ao dente de serra e as oscilações em x=\pm L.

Resposta

f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2L}{n\pi}(-1)^{n+1}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Gráfico: série representa a função dente-de-serra periódica igual a f(x)=x para -L<x<L, repetida com período 2L; nas descontinuidades x=\pm L a série toma o valor 0 e as somas parciais exibem oscilações tipo Gibbs perto desses pontos.

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