1. Seja g:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R} a função definida por
g(t)= \begin{cases}\cos (2 t), & \text { se } 0 \leq t<2 \pi \\\ \cos (2 t)+\sin (t), & \text { se } t \geq 2 \pi\end{cases}
Resolva o seguinte Problema de Valor Inicial:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+4 y=g(t) \\\ y(0)=0 \\\ y^{\prime}(0)=0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá:
  • A função forçante em regime forçado é
g(t)=\begin{cases} \cos(2t), & 0\le t<2\pi,\\[4pt] \cos(2t)+\sin t, & t\ge 2\pi. \end{cases}
  • O Problema de Valor Inicial é
\begin{cases} y''+4y=g(t),\\[4pt] y(0)=0,\\[4pt] y'(0)=0. \end{cases}
O que se pede é a solução y(t) para todo t\ge0. Como g é diferente em dois intervalos, vamos resolver a EDO separadamente em 0\le t<2\pi e em t\ge2\pi, impondo continuidade de y e y' em t=2\pi.]

Passo 2

Primeiro encontremos a solução geral da equação homogênea associada
y''+4y=0.
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1,C_2 são constantes. Isto significa que funções \cos(2t) e \sin(2t) pertencem ao espaço das soluções homogêneas — informação importante na escolha do particular quando houver forçamento com frequência 2.

Passo 3

Resolver em 0\le t<2\pi com g(t)=\cos(2t).
Observação sobre ressonância: o termo \cos(2t) coincide com solução da homogênea, logo há ressonância e o palpite usual de coeficientes indeterminados deve ser multiplicado por t. Assim procuramos uma solução particular do tipo
y_p(t)=C\,t\sin(2t)
(com apenas \sin(2t) multiplicado por t — é a forma que normalmente funciona para forçamento \cos(2t) quando a homogênea contém \cos(2t) e \sin(2t)).
Calculemos as derivadas de y_p com cuidado:
y_p(t)=C t\sin(2t),
y_p'(t)=C\sin(2t)+C t\cdot 2\cos(2t)=C\sin(2t)+2C t\cos(2t),
y_p''(t)=C\cdot 2\cos(2t)+2C\cos(2t)-4C t\sin(2t)=4C\cos(2t)-4C t\sin(2t).
Agora substituímos em y''+4y:
y_p''+4y_p=\bigl(4C\cos(2t)-4C t\sin(2t)\bigr)+4\bigl(Ct\sin(2t)\bigr)=4C\cos(2t).
Queremos y_p''+4y_p=\cos(2t), portanto 4C\cos(2t)=\cos(2t) para todo t, o que dá C=\tfrac{1}{4}. Assim
y_p(t)=\tfrac{1}{4}t\sin(2t).
A solução geral em 0\le t<2\pi é
y(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t\sin(2t).
Agora aplicamos as condições iniciais em t=0:
y(0)=C_1+0+0=0\quad\Rightarrow\quad C_1=0.
Para y' usamos a derivada (já que C_1=0):
y'(t)=2C_2\cos(2t)+\tfrac{1}{4}\sin(2t)+\tfrac{1}{2}t\cos(2t).
Em t=0:
y'(0)=2C_2\cdot 1 +0+0=2C_2=0\quad\Rightarrow\quad C_2=0.
Portanto, para 0\le t<2\pi a solução é simplesmente
y(t)=\tfrac{1}{4}t\sin(2t).

Passo 4

Calculemos os valores no instante de junção t_0=2\pi (limites pela esquerda), que servirão como condições iniciais para o trecho seguinte.
Usando y(t)=\tfrac{1}{4}t\sin(2t):
y(2\pi)=\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi\cdot \sin(4\pi)=\tfrac{\pi}{2}\cdot 0=0.
Para a derivada usamos a expressão já encontrada:
y'(t)=\tfrac{1}{4}\sin(2t)+\tfrac{1}{2}t\cos(2t).
Logo
y'(2\pi)=\tfrac{1}{4}\sin(4\pi)+\tfrac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot\cos(4\pi)=0+\pi\cdot 1=\pi.
Assim os valores de acoplamento são
y(2\pi^-)=0,\qquad y'(2\pi^-)=\pi.

Passo 5

Resolver em t\ge 2\pi com g(t)=\cos(2t)+\sin t.
Como antes, a solução geral é soma da homogênea e de particulares apropriados. Para a parte \cos(2t) temos ressonância e já sabemos um particular que resolve y''+4y=\cos(2t), a saber \tfrac{1}{4}t\sin(2t). Para a parte \sin t (frequência 1) não há ressonância com a homogênea (frequência 2), então tentamos um particular da forma
y_s(t)=A\cos t + B\sin t.
Calcule y_s''+4y_s. Como y_s''=-A\cos t -B\sin t=-y_s, segue
y_s''+4y_s= -y_s +4y_s =3y_s=3(A\cos t+B\sin t).
Queremos 3(A\cos t+B\sin t)=\sin t, isto é
3A=0,\qquad 3B=1 \quad\Rightarrow\quad A=0,\; B=\tfrac{1}{3}.
Portanto um particular para \sin t é \tfrac{1}{3}\sin t.
Somando as partes, uma solução particular para g(t)=\cos(2t)+\sin t é
y_p(t)=\tfrac{1}{4}t\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.
A solução geral para t\ge2\pi é então
y(t)=D_1\cos(2t)+D_2\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t,
onde D_1,D_2 são constantes a ajustar usando as condições de continuidade em t=2\pi.

Passo 6

Impor continuidade em t=2\pi: y(2\pi^+)=y(2\pi^-)=0 e y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)=\pi.
Primeiro y(2\pi):
y(2\pi)=D_1\cos(4\pi)+D_2\sin(4\pi)+\tfrac{1}{4}\cdot 2\pi\sin(4\pi)+\tfrac{1}{3}\sin(2\pi).
Usando \cos(4\pi)=1, \sin(4\pi)=0, \sin(2\pi)=0, obtemos
y(2\pi)=D_1=0 \quad\Rightarrow\quad D_1=0.
Agora a derivada. Primeiro escrevemos y'(t) para a solução geral (com D_1 já nulo será mais simples, mas vamos escrever geral e depois pôr D_1=0):
y'(t)=-2D_1\sin(2t)+2D_2\cos(2t)+\tfrac{1}{4}\sin(2t)+\tfrac{1}{2}t\cos(2t)+\tfrac{1}{3}\cos t.
Em t=2\pi, usando D_1=0, \sin(4\pi)=0, \cos(4\pi)=1, \cos(2\pi)=1, obtemos
y'(2\pi)=2D_2\cdot 1 + 0 + \tfrac{1}{2}\cdot 2\pi\cdot 1 + \tfrac{1}{3}\cdot 1 = 2D_2 + \pi + \tfrac{1}{3}.
Impondo y'(2\pi)=\pi resulta
2D_2 + \pi + \tfrac{1}{3}=\pi \quad\Rightarrow\quad 2D_2 + \tfrac{1}{3}=0 \quad\Rightarrow\quad D_2=-\tfrac{1}{6}.
Portanto, para t\ge2\pi a solução é
y(t)=-\tfrac{1}{6}\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.
Que pode ser reorganizada como
y(t)=\Bigl(\tfrac{1}{4}t-\tfrac{1}{6}\Bigr)\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.

Passo 7

Resumo final, juntando os dois trechos (e lembrando que a solução é contínua com derivada contínua em t=2\pi):
Para 0\le t<2\pi:
y(t)=\tfrac{1}{4}t\sin(2t).
Para t\ge 2\pi:
y(t)=-\tfrac{1}{6}\sin(2t)+\tfrac{1}{4}t\sin(2t)+\tfrac{1}{3}\sin t.

Resposta

y(t)=\dfrac{1}{4}t\sin(2t),\quad 0\le t<2\pi
y(t)=-\dfrac{1}{6}\sin(2t)+\dfrac{1}{4}t\sin(2t)+\dfrac{1}{3}\sin t,\quad t\ge 2\pi

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