O que se pede é a solução y(t) para todo t\ge0. Como g é diferente em dois intervalos, vamos resolver a EDO separadamente em 0\le t<2\pi e em t\ge2\pi, impondo continuidade de y e y' em t=2\pi.]
Passo 2
Primeiro encontremos a solução geral da equação homogênea associada
y''+4y=0.
A equação característica é r^2+4=0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t)=C_1\cos(2t)+C_2\sin(2t),
onde C_1,C_2 são constantes. Isto significa que funções \cos(2t) e \sin(2t) pertencem ao espaço das soluções homogêneas — informação importante na escolha do particular quando houver forçamento com frequência 2.
Passo 3
Resolver em 0\le t<2\pi com g(t)=\cos(2t).
Observação sobre ressonância: o termo \cos(2t) coincide com solução da homogênea, logo há ressonância e o palpite usual de coeficientes indeterminados deve ser multiplicado por t. Assim procuramos uma solução particular do tipo
y_p(t)=C\,t\sin(2t)
(com apenas \sin(2t) multiplicado por t — é a forma que normalmente funciona para forçamento \cos(2t) quando a homogênea contém \cos(2t) e \sin(2t)).
Como antes, a solução geral é soma da homogênea e de particulares apropriados. Para a parte \cos(2t) temos ressonância e já sabemos um particular que resolve y''+4y=\cos(2t), a saber \tfrac{1}{4}t\sin(2t). Para a parte \sin t (frequência 1) não há ressonância com a homogênea (frequência 2), então tentamos um particular da forma
y_s(t)=A\cos t + B\sin t.
Calcule y_s''+4y_s. Como y_s''=-A\cos t -B\sin t=-y_s, segue