Supondo que as funções abaixo sejam
Passo 1
O enunciado dá uma função
O que se pede: calcular a série de Fourier de
é
-periódica;
- valores em e
são dados por expressões elementares
e
;
- precisamos determinar os coeficientes da série de Fourier e escrever a série.]
- valores em
- precisamos determinar os coeficientes da série de Fourier e escrever a série.]
Passo 2
Lembrando as fórmulas de coeficientes para uma função
-periódica em
:
Verificamos a paridade de
. Para
temos
e
. Portanto
ou seja,
é uma função ímpar. Consequências imediatas (razão: integral de função ímpar sobre
é zero; produto ímpar·par é ímpar; produto ímpar·ímpar é par):
-
(integral de função ímpar sobre é zero); -
para todo (pois é ímpar); - os
podem ser não nulos (pois é par), e a série será apenas de senos:
Passo 3
Vamos calcular
. Usando simetria do integrando:
Para
temos
, logo
Definimos
e vamos calcular
por partes.
Passo 4
Integração por partes (fórmula:
). Tomamos
e
. Então
e
. Assim
Avalia o termo de fronteira:
Fica, portanto,
onde definimos
.
Passo 5
Calcule
por partes: tome
,
. Então
,
. Assim
O termo de fronteira é
. Calculamos a integral restante:
Logo
Passo 6
Voltemos a
:
Agora
, portanto
É prático separar os casos par/ímpar (usar
se
é par e
se
é ímpar):
- Se
(par), então e . Logo
- Se
(ímpar), então e . Logo
Passo 7
Portanto a série de Fourier (apenas senos) é
com
dado por qualquer das formas acima. Escrevendo explicitamente em forma compacta: