Supondo que as funções abaixo sejam 2 \pi\) - periódicas, calcule a série de Fourier de cada uma delas : \(f(x)= \begin{cases}-x^{2}, & \text { se } x \in]-\pi, 0] \\\ x^{2}, & \text { se } x \in[0, \pi] ;\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá uma função 2\pi\)-periódica, definida por partes em \((-\pi,\pi]\): \[f(x)=\begin{cases} -x^{2}, & x\in(-\pi,0],\\[4pt] x^{2}, & x\in[0,\pi]. \end{cases}
O que se pede: calcular a série de Fourier de f\]. Informações relevantes extraídas do enunciado: - \(f é 2\pi-periódica;
- valores em (-\pi,0] e [0,\pi] são dados por expressões elementares -x^2 e x^2;
- precisamos determinar os coeficientes da série de Fourier e escrever a série.]

Passo 2

Lembrando as fórmulas de coeficientes para uma função 2\pi-periódica em [-\pi,\pi]:
a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,dx,
a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx)\,dx,\qquad n\ge1,
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx,\qquad n\ge1.
Verificamos a paridade de f. Para x\in(0,\pi] temos f(x)=x^2 e f(-x)=-x^2. Portanto
f(-x)=-f(x),
ou seja, f é uma função ímpar. Consequências imediatas (razão: integral de função ímpar sobre [-\pi,\pi] é zero; produto ímpar·par é ímpar; produto ímpar·ímpar é par):
  • a_0=0 (integral de função ímpar sobre [-\pi,\pi] é zero);
  • a_n=0 para todo n (pois f(x)\cos(nx) é ímpar);
  • os b_n podem ser não nulos (pois f(x)\sin(nx) é par), e a série será apenas de senos:
f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx).

Passo 3

Vamos calcular b_n. Usando simetria do integrando:
b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin(nx)\,dx.
Para x\in(0,\pi) temos f(x)=x^2, logo
b_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(nx)\,dx.
Definimos I_n=\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(nx)\,dx e vamos calcular I_n por partes.

Passo 4

Integração por partes (fórmula: \int u\,dv = uv - \int v\,du). Tomamos u=x^{2} e dv=\sin(nx)\,dx. Então du=2x\,dx e v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
I_n=\left[-\frac{x^{2}\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Avalia o termo de fronteira:
\left[-\frac{x^{2}\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=-\frac{\pi^{2}\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}.
Fica, portanto,
I_n=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{n}\,J_n,
onde definimos J_n=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.

Passo 5

Calcule J_n por partes: tome u=x, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
J_n=\left[\frac{x\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
O termo de fronteira é \dfrac{\pi\sin(n\pi)}{n}=0. Calculamos a integral restante:
\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\left[-\frac{\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}=\frac{1-(-1)^{n}}{n}.
Logo
J_n=0-\frac{1}{n}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n}=-\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}.

Passo 6

Voltemos a I_n:
I_n=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{n}\left(-\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}\right) =-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}-\frac{2(1-(-1)^{n})}{n^{3}}.
Agora b_n=\dfrac{2}{\pi}I_n, portanto
b_n=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}-\frac{2(1-(-1)^{n})}{n^{3}}\right) =-\frac{2\pi(-1)^{n}}{n}-\frac{4(1-(-1)^{n})}{\pi n^{3}}.
É prático separar os casos par/ímpar (usar 1-(-1)^{n}=0 se n é par e =2 se n é ímpar):
  • Se n=2k (par), então 1-(-1)^{n}=0 e (-1)^{n}=1. Logo
b_{2k}=-\frac{2\pi\cdot 1}{2k}=-\frac{\pi}{k}.
  • Se n=2k+1 (ímpar), então 1-(-1)^{n}=2 e (-1)^{n}=-1. Logo
b_{2k+1}=-\frac{2\pi(-1)}{2k+1}-\frac{4\cdot 2}{\pi (2k+1)^{3}} =\frac{2\pi}{2k+1}-\frac{8}{\pi(2k+1)^{3}}.

Passo 7

Portanto a série de Fourier (apenas senos) é
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n\sin(nx),
com b_n dado por qualquer das formas acima. Escrevendo explicitamente em forma compacta:
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2\pi(-1)^{n}}{n}-\frac{4(1-(-1)^{n})}{\pi n^{3}}\right)\sin(nx).

Resposta

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{2\pi(-1)^{n}}{n}-\frac{4(1-(-1)^{n})}{\pi n^{3}}\right)\sin(nx)
\text{equivalentemente,}\quad \begin{cases} b_{2k}=-\dfrac{\pi}{k},\\[6pt] b_{2k+1}=\dfrac{2\pi}{2k+1}-\dfrac{8}{\pi(2k+1)^{3}}, \end{cases} \quad f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(nx).]

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