Seja
função
periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por
.
a) Qual a série de Fourier de
?
b) Suponha
contínua e
contínua por partes e seja
sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de
.
a) Qual a série de Fourier de
b) Suponha
Passo 1
O enunciado dá:
é
-periódica e contínua por partes, com série de Fourier
Pede-se:
a) A série de Fourier de
.
b) Supondo
contínua e
contínua por partes, a série de Fourier de
é
e pede-se expressar
em função de
(os coeficientes de
).
Informações relevantes: temos os coeficientes
de
;
é produto
; em (b) podemos diferenciar termo a termo sob as hipóteses dadas.
Passo 2
Ferramentas trigonométricas que vamos usar (produto para soma). Para quaisquer inteiros
valem as identidades:
Explico rapidamente de onde vêm: use a fórmula
e aplique com
; para
use
. Essas identidades trocam produtos de seno/cosseno por somas de senos/cossenos — ótimo para recolher termos da série.
Passo 3
Multiplicamos a série de
por
. Começo separando o termo constante e as somas:
Agora aplico as identidades do passo anterior em cada termo da soma:
- Para
:
- Para
:
Substituindo essas expressões em
obtemos
Passo 4
Reagrupando termos para escrever
na forma Fourier
vamos extrair os coeficientes
(coeficientes de
) e
(coeficientes de
) comparando com a expressão do passo anterior.
Primeiro os termos
:
Da soma com
temos para cada
Para um índice fixo
,
aparece quando
(ou seja
) com coeficiente
e quando
(ou seja
) com coeficiente
. Assim o coeficiente de
vale
O termo constante (quando
, isto é
) vem apenas de
pela parte
; portanto a constante é
. Em termos do padrão
e
(para
) temos
onde por convenção
(não existe coeficiente seno de ordem zero).
Passo 5
Agora os termos
:
Do termo
vemos que, para um índice fixo
,
aparece (quando
) com coeficiente
— isso só é válido se
(ou seja
) — e aparece (quando
) com coeficiente
(este existe para todo
porque
). Além disso há o termo separado
que contribui para
.
Juntando tudo, para
o coeficiente de
é
e para
o coeficiente de
é
Multiplicando por
para comparar com a notação
(pois a série tem
) obtemos, de forma compacta válida para todo
,
onde aqui usamos
como o coeficiente dado no enunciado (isto garante que para
a fórmula dá
, que coincide com o cálculo anterior).
Passo 6
Resumo final da parte (a): a série de Fourier de
é
com os coeficientes
adotando
. Essas fórmulas vêm diretamente da reindexação das somas após usar as identidades produto-para-soma.
Passo 7
Agora a parte (b): diferenciação termo a termo. Se
é contínua e
é contínua por partes, podemos diferenciar a série de Fourier de
termo a termo (resultado padrão: para funções suficientemente regulares a diferenciação termo a termo é válida). Diferenciando
obtém-se, usando
e
,
Comparando com a forma
vemos imediatamente que o termo constante é nulo e os coeficientes são, para todo
,
Resposta
a)
com
(adotando
e usando
como dado).
b)