Seja f(x) função 2 \pi periódica e contínua por partes. Suponha que sua série de Fourier seja dada por S_{f}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x+b_{n} \operatorname{sen} n x.
a) Qual a série de Fourier de g(x)=f(x) \operatorname{sen} x ?
b) Suponha f contínua e f^{\prime} contínua por partes e seja S_{f^{\prime}}(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} A_{n} \cos n x+B_{n} \operatorname{sen} n x sua série de Fourier. Expresse seus coeficientes em função dos coeficientes de Fourier de f.

Passo 1

O enunciado dá: f é 2\pi-periódica e contínua por partes, com série de Fourier
S_{f}(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos n x+b_{n}\sin n x\bigr).
Pede-se:
a) A série de Fourier de g(x)=f(x)\sin x.
b) Supondo f contínua e f' contínua por partes, a série de Fourier de f' é
S_{f'}(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos n x+B_{n}\sin n x\bigr),
e pede-se expressar A_{0},A_{n},B_{n} em função de a_{n},b_{n} (os coeficientes de f).
Informações relevantes: temos os coeficientes a_{0},a_{n},b_{n} de f; g é produto f\cdot\sin x; em (b) podemos diferenciar termo a termo sob as hipóteses dadas.

Passo 2

Ferramentas trigonométricas que vamos usar (produto para soma). Para quaisquer inteiros n\ge1 valem as identidades:
\cos n x\sin x=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\bigr),
\sin n x\sin x=\tfrac{1}{2}\bigl(\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr).
Explico rapidamente de onde vêm: use a fórmula \sin u\cos v=\tfrac{1}{2}[\sin(u+v)+\sin(u-v)] e aplique com (u,v)=(n x,x); para \sin n x\sin x use \sin u\sin v=\tfrac{1}{2}[\cos(u-v)-\cos(u+v)]. Essas identidades trocam produtos de seno/cosseno por somas de senos/cossenos — ótimo para recolher termos da série.

Passo 3

Multiplicamos a série de f por \sin x. Começo separando o termo constante e as somas:
g(x)=f(x)\sin x=\frac{a_{0}}{2}\sin x+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cos n x\sin x+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\sin n x\sin x.
Agora aplico as identidades do passo anterior em cada termo da soma:
  • Para a_{n}\cos n x\sin x:
a_{n}\cos n x\sin x=\tfrac{a_{n}}{2}\bigl(\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\bigr).
  • Para b_{n}\sin n x\sin x:
b_{n}\sin n x\sin x=\tfrac{b_{n}}{2}\bigl(\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr).
Substituindo essas expressões em g(x) obtemos
g(x)=\frac{a_{0}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\bigl(\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)\bigr) +\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\bigl(\cos((n-1)x)-\cos((n+1)x)\bigr).

Passo 4

Reagrupando termos para escrever g na forma Fourier
g(x)=\frac{A_{0}'}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}\bigl(A_{m}'\cos m x+B_{m}'\sin m x\bigr),
vamos extrair os coeficientes A_{m}' (coeficientes de \cos m x) e B_{m}' (coeficientes de \sin m x) comparando com a expressão do passo anterior.
Primeiro os termos \cos:
Da soma com b_{n} temos para cada n\ge1
\tfrac{b_{n}}{2}\cos((n-1)x)\quad\text{(positivo)}\quad\text{e}\quad -\tfrac{b_{n}}{2}\cos((n+1)x)\quad\text{(negativo)}.
Para um índice fixo m\ge1, \cos m x aparece quando n-1=m (ou seja n=m+1) com coeficiente \tfrac{b_{m+1}}{2} e quando n+1=m (ou seja n=m-1) com coeficiente -\tfrac{b_{m-1}}{2}. Assim o coeficiente de \cos m x vale
\text{coeficiente de }\cos m x=\tfrac{1}{2}\bigl(b_{m+1}-b_{m-1}\bigr).
O termo constante (quando m=0, isto é \cos 0x=1) vem apenas de n=1 pela parte \tfrac{b_{1}}{2}\cos 0x; portanto a constante é \tfrac{b_{1}}{2}. Em termos do padrão A_{0}'/2 e A_{m}' (para m\ge1) temos
A_{0}'=b_{1},\qquad A_{m}'=b_{m+1}-b_{m-1}\quad(\text{para }m\ge1),
onde por convenção b_{0}=0 (não existe coeficiente seno de ordem zero).

Passo 5

Agora os termos \sin:
Do termo \tfrac{a_{n}}{2}(\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)) vemos que, para um índice fixo m\ge1, \sin m x aparece (quando n+1=m\Rightarrow n=m-1) com coeficiente \tfrac{a_{m-1}}{2} — isso só é válido se m-1\ge1 (ou seja m\ge2) — e aparece (quando n-1=m\Rightarrow n=m+1) com coeficiente -\tfrac{a_{m+1}}{2} (este existe para todo m\ge1 porque n=m+1\ge2). Além disso há o termo separado \tfrac{a_{0}}{2}\sin x que contribui para \sin 1x.
Juntando tudo, para m=1 o coeficiente de \sin x é
\frac{a_{0}}{2}\;+\; \bigl(-\tfrac{a_{2}}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(a_{0}-a_{2}\bigr),
e para m\ge2 o coeficiente de \sin m x é
\tfrac{1}{2}\bigl(a_{m-1}-a_{m+1}\bigr).
Multiplicando por 2 para comparar com a notação B_{m}' (pois a série tem B_{m}'\sin m x) obtemos, de forma compacta válida para todo m\ge1,
B_{m}'=a_{m-1}-a_{m+1}\quad(\text{para }m\ge1),
onde aqui usamos a_{0} como o coeficiente dado no enunciado (isto garante que para m=1 a fórmula dá B_{1}'=a_{0}-a_{2}, que coincide com o cálculo anterior).

Passo 6

Resumo final da parte (a): a série de Fourier de g(x)=f(x)\sin x é
g(x)=\frac{A_{0}'}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}'\cos n x+B_{n}'\sin n x\bigr)
com os coeficientes
A_{0}'=b_{1},\qquad A_{n}'=b_{n+1}-b_{n-1}\quad(n\ge1),
B_{n}'=a_{n-1}-a_{n+1}\quad(n\ge1),
adotando b_{0}=0. Essas fórmulas vêm diretamente da reindexação das somas após usar as identidades produto-para-soma.

Passo 7

Agora a parte (b): diferenciação termo a termo. Se f é contínua e f' é contínua por partes, podemos diferenciar a série de Fourier de f termo a termo (resultado padrão: para funções suficientemente regulares a diferenciação termo a termo é válida). Diferenciando
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos n x+b_{n}\sin n x\bigr)
obtém-se, usando \tfrac{d}{dx}\cos n x=-n\sin n x e \tfrac{d}{dx}\sin n x=n\cos n x,
f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-n a_{n}\sin n x + n b_{n}\cos n x\bigr).
Comparando com a forma
S_{f'}(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos n x+B_{n}\sin n x\bigr)
vemos imediatamente que o termo constante é nulo e os coeficientes são, para todo n\ge1,
A_{0}=0,\qquad A_{n}=n b_{n},\qquad B_{n}=-n a_{n}.

Resposta

a) \displaystyle g(x)=\frac{A_{0}'}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}'\cos n x+B_{n}'\sin n x\bigr) com
A_{0}'=b_{1},\qquad A_{n}'=b_{n+1}-b_{n-1}\quad(n\ge1),
B_{n}'=a_{n-1}-a_{n+1}\quad(n\ge1),
(adotando b_{0}=0 e usando a_{0} como dado).
b) \displaystyle A_{0}=0,\qquad A_{n}=n b_{n},\qquad B_{n}=-n a_{n}\quad(n\ge1).

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