Seja f(x)=x^{2}, x \in[0, T]. Desenvolver f(x) em série de cosenos…

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2} definida no intervalo [0,T] e pede: desenvolver f(x) em série de cossenos no intervalo [0,T].
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • Função: f(x)=x^{2} para x\in[0,T].
  • Intervalo: [0,T].
  • Pedido: expressão da série de cossenos que representa f(x) em [0,T], ou seja, os coeficientes e a forma da expansão.

Passo 2

O que é uma série de cossenos (forma que vamos usar) e por que ela serve aqui.
  • A série de cossenos representa uma função em [0,T]\) por uma soma de cossenos com frequências \(\dfrac{n\pi}{T}\). A forma geral é \[f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right).
  • Os coeficientes a_{n} são determinados usando a ortogonalidade das funções \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{T}\right) em [0,T]. Em particular vale (para inteiros m,n\ge1)
\int_{0}^{T}\cos\!\left(\frac{m\pi x}{T}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right)\,dx= \begin{cases} 0, & m\ne n,\\[4pt] \dfrac{T}{2}, & m=n, \end{cases}
e também
\int_{0}^{T}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right)\,dx=0\quad(n\ge1).
  • Dessa ortogonalidade, as fórmulas para os coeficientes da série de cossenos são
a_{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\,dx, \qquad a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right)\,dx\quad(n\ge1).
Aqui cada a_{n}\] é um número obtido aplicando essa integral com \(f(x)=x^{2}. Vou agora calcular a_{0} e a_{n} passo a passo.]

Passo 3

Cálculo do coeficiente a_{0}.
Aplicando a fórmula:
a_{0}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x^{2}\,dx.
Calcule a integral elementar:
\int_{0}^{T} x^{2}\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{T}=\frac{T^{3}}{3}.
Portanto
a_{0}=\frac{2}{T}\cdot\frac{T^{3}}{3}=\frac{2T^{2}}{3}.
Na série aparece \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{T^{2}}{3}.

Passo 4

Cálculo do coeficiente a_{n} para n\ge1.
Usamos
a_{n}=\frac{2}{T}\int_{0}^{T} x^{2}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right)\,dx.
Para simplificar a notação, defina
k=\frac{n\pi}{T}\quad\text{(é a frequência angular que aparece no cosseno).}éê
Então a integral a calcular é
I=\int_{0}^{T} x^{2}\cos(kx)\,dx,
e a_{n}=\dfrac{2}{T}I.

Passo 5

Avaliação de I=\int_{0}^{T} x^{2}\cos(kx)\,dx por partes (duas vezes). Vou explicar cada passo como se fosse a prova, sem pular etapas.
Primeira integração por partes:
  • Escolha u=x^{2} (então du=2x\,dx) e dv=\cos(kx)\,dx (então v=\dfrac{1}{k}\sin(kx)).
    Aplicando a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
I=\left[x^{2}\cdot\frac{1}{k}\sin(kx)\right]_{0}^{T}-\int_{0}^{T}\frac{1}{k}\sin(kx)\cdot 2x\,dx.
Avalie o termo no limite superior/inferior:
\left[x^{2}\cdot\frac{1}{k}\sin(kx)\right]_{0}^{T}=\frac{T^{2}}{k}\sin(kT)-0.
Mas kT=\dfrac{n\pi}{T}\cdot T=n\pi, e \sin(n\pi)=0. Logo esse termo é zero. Assim
I=-\frac{2}{k}\int_{0}^{T} x\sin(kx)\,dx.
Chame a integral restante de J:
J=\int_{0}^{T} x\sin(kx)\,dx, \qquad I=-\frac{2}{k}J.

Passo 6

Calcule J=\int_{0}^{T} x\sin(kx)\,dx por partes.
Segunda integração por partes:
  • Escolha u=x (então du=dx) e dv=\sin(kx)\,dx (então v=-\dfrac{1}{k}\cos(kx)).
    Aplicando \int u\,dv = uv - \int v\,du:
J=\left[-\frac{x}{k}\cos(kx)\right]_{0}^{T}+\int_{0}^{T}\frac{1}{k}\cos(kx)\,dx.
Avalie o primeiro termo:
\left[-\frac{x}{k}\cos(kx)\right]_{0}^{T}=-\frac{T}{k}\cos(kT)-0=-\frac{T}{k}\cos(n\pi)=-\frac{T}{k}(-1)^{n}.
O segundo termo é
\int_{0}^{T}\frac{1}{k}\cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\left[\frac{1}{k}\sin(kx)\right]_{0}^{T}=\frac{1}{k^{2}}\sin(kT)-0=0,
porque \sin(kT)=\sin(n\pi)=0. Assim
J=-\frac{T}{k}(-1)^{n}.

Passo 7

Volte para I usando I=-\dfrac{2}{k}J.
Substituindo J:
I=-\frac{2}{k}\left(-\frac{T}{k}(-1)^{n}\right)=\frac{2T}{k^{2}}(-1)^{n}.
Lembre que k=\dfrac{n\pi}{T}, então
k^{2}=\frac{n^{2}\pi^{2}}{T^{2}}, \qquad \frac{1}{k^{2}}=\frac{T^{2}}{n^{2}\pi^{2}}.
Portanto
I=\frac{2T}{k^{2}}(-1)^{n}=2T\cdot\frac{T^{2}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}=\frac{2T^{3}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}.

Passo 8

Agora recupere a_{n}=\dfrac{2}{T}I.
Substituindo I:
a_{n}=\frac{2}{T}\cdot\frac{2T^{3}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}=\frac{4T^{2}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}.
Explique o significado: cada coeficiente a_{n} decai como 1/n^{2} e tem fator (-1)^{n}, o que determina os sinais alternados, e fator T^{2}/\pi^{2} de escala.

Passo 9

Escreva a série completa juntando a_{0} e a_{n}.
Lembre que \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{T^{2}}{3}. Assim a expansão em série de cossenos de f(x)=x^{2} em [0,T] é
x^{2} \sim \frac{T^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4T^{2}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right).

Passo 10

Interpretação rápida e verificação particular (ajuda a fixar).
  • Para T=\pi obtemos a série clássica em [0,\pi]:
x^{2}\sim \frac{\pi^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}}\cos(nx),
que é a fórmula conhecida (boa checagem).
  • A série de cossenos corresponde à extensão par (even extension) de x^{2} para [-T,T]: a soma converge para x^{2} em (0,T) e para o valor médio dos limites laterais em pontos extremos, conforme o teorema de Fourier (isso explica por que usamos cossenos: cossenos geram funções pares).

Resposta

x^{2}=\frac{T^{2}}{3}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4T^{2}}{n^{2}\pi^{2}}(-1)^{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right)\quad\text{para }x\in[0,T].

Exercícios relacionados