Seja f(x)=x^{2}, x \in[0, T]. Desenvolver f(x) em série de cosenos…
Passo 1
O enunciado dá a função f(x)=x^{2} definida no intervalo [0,T] e pede: desenvolver f(x) em série de cossenos no intervalo [0,T].
Informações fornecidas e o que é pedido:
Função: f(x)=x^{2} para x\in[0,T].
Intervalo: [0,T].
Pedido: expressão da série de cossenos que representa f(x) em [0,T], ou seja, os coeficientes e a forma da expansão.
Passo 2
O que é uma série de cossenos (forma que vamos usar) e por que ela serve aqui.
A série de cossenos representa uma função em [0,T]\) por uma soma de cossenos com frequências \(\dfrac{n\pi}{T}\). A forma geral é
\[f(x)\sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{T}\right).
Os coeficientes a_{n} são determinados usando a ortogonalidade das funções \cos\!\left(\dfrac{n\pi x}{T}\right) em [0,T]. Em particular vale (para inteiros m,n\ge1)
Explique o significado: cada coeficiente a_{n} decai como 1/n^{2} e tem fator (-1)^{n}, o que determina os sinais alternados, e fator T^{2}/\pi^{2} de escala.
Passo 9
Escreva a série completa juntando a_{0} e a_{n}.
Lembre que \dfrac{a_{0}}{2}=\dfrac{T^{2}}{3}. Assim a expansão em série de cossenos de f(x)=x^{2} em [0,T] é
A série de cossenos corresponde à extensão par (even extension) de x^{2} para [-T,T]: a soma converge para x^{2} em (0,T) e para o valor médio dos limites laterais em pontos extremos, conforme o teorema de Fourier (isso explica por que usamos cossenos: cossenos geram funções pares).