Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}A & , x \in[0, a] \\\\ 0 & , x \in(a, L]\end{array}\right. onde 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de cosenos.
Passo 1
O enunciado dá a função definida em [0,L]\):
\[f(x)=\begin{cases} A, & x\in[0,a],\\[4pt] 0, & x\in(a,L], \end{cases}
onde 0<a<L\]. A tarefa é desenvolver \(f(x) em séries de cosenos (isto é, escrever f como combinação de termos \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) para n=0,1,2,\dots).
Informações relevantes fornecidas:
A função é constante igual a A no subintervalo [0,a].
A função é nula no intervalo (a,L].
Os parâmetros são A, a e L com 0<a<L.
O que se pede explicitamente:
Encontrar os coeficientes da série de cosenos e, portanto, a expressão da expansão de f(x) válida em [0,L].]
Passo 2
O que é uma série de cosenos e qual a fórmula que vamos usar.
Agora calcule a integral elementar \displaystyle\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
A primitiva de \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é \dfrac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), porque \dfrac{d}{dx}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=\dfrac{n\pi}{L}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
Se \dfrac{n a}{L} for inteiro (ou seja, se n\pi a/L for múltiplo de \pi), então \sin\!\left(\tfrac{n\pi a}{L}\right)=0 e o coeficiente a_n anula-se.
O coeficiente decai como 1/n multiplicado por \sin(\cdot), típico de uma descontinuidade na função (o decaimento lento reflete isso).
Passo 5
Convergência e interpretação física-matemática (como interpretar a série).
A série de cosenos corresponde à série de Fourier da extensão par de f ao intervalo [-L,L]. Em outras palavras, imaginamos estender f de forma par: f(-x)=f(x) para x\in[0,L], e então fazemos a série de Fourier usual nesse intervalo simétrico. Isso garante o uso só de cossenos.
Ponto a ponto:
Para x estritamente no interior de (0,a) a soma da série vale A.
Para x estritamente em (a,L) a soma vale 0.
No ponto de descontinuidade x=a a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}.
No extremo x=0 (onde a função é contínua se f(0)=A) a série converge para A.
Essas propriedades são consequência das condições de Dirichlet para séries de Fourier (valores nas descontinuidades convergem para a média dos limites).
Passo 6
Como fazer isso numa prova (resumo prático e dicas rápidas).
Escreva a forma padrão da série de cosenos e as fórmulas dos coeficientes (decorrência da ortogonalidade).
Note imediatamente que só precisa integrar até a porque f=0 em (a,L].
Use a primitiva de \cos(kx) que é \sin(kx)/k; aqui k=\tfrac{n\pi}{L} para n\ge1.
Calcule a_0 para o termo constante e a_n para n\ge1.
Lembre-se da interpretação nos pontos de descontinuidade (soma vale a média dos dois lados).
Respire fundo — os passos são sempre os mesmos: escrever fórmula, reduzir a integral ao suporte de f, integrar, simplificar.