Seja f(x)=\left\{\begin{array}{ll}A & , x \in[0, a] \\\\ 0 & , x \in(a, L]\end{array}\right. onde 0<a<L. Desenvolver f(x) em séries de cosenos.

Passo 1

O enunciado dá a função definida em [0,L]\): \[f(x)=\begin{cases} A, & x\in[0,a],\\[4pt] 0, & x\in(a,L], \end{cases}
onde 0<a<L\]. A tarefa é desenvolver \(f(x) em séries de cosenos (isto é, escrever f como combinação de termos \cos\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) para n=0,1,2,\dots).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é constante igual a A no subintervalo [0,a].
  • A função é nula no intervalo (a,L].
  • Os parâmetros são A, a e L com 0<a<L.
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar os coeficientes da série de cosenos e, portanto, a expressão da expansão de f(x) válida em [0,L].]

Passo 2

O que é uma série de cosenos e qual a fórmula que vamos usar.
Uma série de cosenos em [0,L] tem a forma
f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right),
onde os coeficientes são dados por (para funções com as condições habituais de integrabilidade)
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx, \qquad a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx\quad (n\ge 1).
Por que essas fórmulas? Resumo rápido e intuitivo:
  • As funções \{1,\cos(\tfrac{n\pi x}{L})\}_{n\ge1} são ortogonais no intervalo [0,L] com produto interno \langle g,h\rangle=\int_0^L g(x)h(x)\,dx.
  • A normalização leva ao fator \tfrac{2}{L} para que a projeção de f em cada modo coseno dê o coeficiente a_n.
  • Na prática, para calcular a_n basta integrar f(x)\cos(\tfrac{n\pi x}{L}) em [0,L] e multiplicar por \tfrac{2}{L}.

Passo 3

Cálculo de a_0.
Usando a definição,
a_0=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\,dx.
Como f(x)=A em [0,a] e f(x)=0 em (a,L], a integral em [0,L] reduz-se à integral em [0,a]:
\int_{0}^{L} f(x)\,dx=\int_{0}^{a} A\,dx = A\cdot a.
Portanto
a_0=\frac{2}{L}\cdot A a = \frac{2A a}{L}.
O termo constante na série é \dfrac{a_0}{2}=\dfrac{A a}{L}.

Passo 4

Cálculo de a_n para n\ge 1.
Pela fórmula,
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L} f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Novamente, como f(x)=A só em [0,a], a integral sobre [0,L] vale a integral sobre [0,a]:
a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{a} A\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \frac{2A}{L}\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
Agora calcule a integral elementar \displaystyle\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.
  • A primitiva de \cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right) é \dfrac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right), porque \dfrac{d}{dx}\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)=\dfrac{n\pi}{L}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).
  • Avaliando de 0 a a:
\int_{0}^{a}\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx = \frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right)-\frac{L}{n\pi}\sin(0) = \frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right).
Substituindo na expressão de a_n:
a_n=\frac{2A}{L}\cdot\frac{L}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right) = \frac{2A}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right), \qquad n\ge 1.
Observações úteis:
  • Se \dfrac{n a}{L} for inteiro (ou seja, se n\pi a/L for múltiplo de \pi), então \sin\!\left(\tfrac{n\pi a}{L}\right)=0 e o coeficiente a_n anula-se.
  • O coeficiente decai como 1/n multiplicado por \sin(\cdot), típico de uma descontinuidade na função (o decaimento lento reflete isso).

Passo 5

Convergência e interpretação física-matemática (como interpretar a série).
  • A série de cosenos corresponde à série de Fourier da extensão par de f ao intervalo [-L,L]. Em outras palavras, imaginamos estender f de forma par: f(-x)=f(x) para x\in[0,L], e então fazemos a série de Fourier usual nesse intervalo simétrico. Isso garante o uso só de cossenos.
  • Ponto a ponto:
    • Para x estritamente no interior de (0,a) a soma da série vale A.
    • Para x estritamente em (a,L) a soma vale 0.
    • No ponto de descontinuidade x=a a série converge para a média dos limites laterais, isto é \dfrac{A+0}{2}=\dfrac{A}{2}.
    • No extremo x=0 (onde a função é contínua se f(0)=A) a série converge para A.
  • Essas propriedades são consequência das condições de Dirichlet para séries de Fourier (valores nas descontinuidades convergem para a média dos limites).

Passo 6

Como fazer isso numa prova (resumo prático e dicas rápidas).
  • Escreva a forma padrão da série de cosenos e as fórmulas dos coeficientes (decorrência da ortogonalidade).
  • Note imediatamente que só precisa integrar até a porque f=0 em (a,L].
  • Use a primitiva de \cos(kx) que é \sin(kx)/k; aqui k=\tfrac{n\pi}{L} para n\ge1.
  • Calcule a_0 para o termo constante e a_n para n\ge1.
  • Lembre-se da interpretação nos pontos de descontinuidade (soma vale a média dos dois lados).
  • Respire fundo — os passos são sempre os mesmos: escrever fórmula, reduzir a integral ao suporte de f, integrar, simplificar.

Resposta

f(x)=\frac{A a}{L}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2A}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi a}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right).

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