Seja f(x)=integral0^x e^(s^33-s^22) d s. Use o método de integração por partes para calcular a integral
integral0^1(2 x-1) f(x) d x

Passo 1

O enunciado define
f(x)=integral0^xe^(s^33-s^22),ds
e pede o valor de
integral0^1(2x-1),f(x),dx
O conteúdo principal é aplicar integração por partes e usar o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a integral resultante.

Passo 2

Escolhemos na integração por partes
u = f(x), dv = (2x-1),dx
Então
du = f'(x),dx = e^(x^33-x^22),dx, v = integral(2x-1),dx = x^2-x

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
integral0^1(2x-1),f(x),dx = l[(x^2-x),f(x)r]0^1 - integral0^1(x^2-x),e^(x^33-x^22),dx
No termo de contorno temos em x=1 que x^2-x=0 e em x=0 também é zero, logo a parte de fronteira anula-se.

Passo 4

Fica então
integral0^1(2x-1),f(x),dx = -integral0^1(x^2-x),e^(x^33-x^22),dx
Observe que se definirmos
g(x)=x^33-x^22,
então
g'(x)=x^2-x
e a integral torna-se
-integral0^1g'(x),e^g(x),dx

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
integral0^1g'(x),e^g(x),dx = e^g(1) - e^g(0) = e^13-12 - e^0 = e^-16 - 1
Portanto
integral0^1(2x-1),f(x),dx = -l(e^-16 - 1r) = 1 - e^-16

Resposta

1 - e^-tfrac16

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