Usando o método descrito no exercício precedente
ou
, determine a solução geral das seguintes edo’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
usando o método de variação de parâmetros, partindo das duas soluções conhecidas da homogênea
e
.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da homogênea
Verificamos que
satisfaz
,
e que satisfaz
.
Logo
e que
Logo
Passo 3
Para aplicar variação de parâmetros escrevemos a equação em forma normal
Chamemos
. O particular será
com as condições
Passo 4
O Wronskiano de
é
As fórmulas de variação de parâmetros dão
Passo 5
Integramos para achar
u1 e
u2 :
Fazendo integração por partes em
integral x e^-xdx obtemos
logo
Passo 6
Substituindo em
yp = u1,x + u2,e^x temos
O termo linear em
x pode ser absorvido em
C1x , então tomamos como particular simplificado
Resposta
A solução geral é