Usando o método descrito no exercício precedente operatornamecom varphi(x)=x ou varphi(x)=e^x, determine a solução geral das seguintes edo’s:
(1-x) y^prime prime+x y^prime-y=(1-x)^2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem
(1 - x),y'' + x,y' - y = (1 - x)^2
usando o método de variação de parâmetros, partindo das duas soluções conhecidas da homogênea varphi1(x)=x e varphi2(x)=e^x.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da homogênea
(1 - x),y'' + x,y' - y = 0
Verificamos que y1(x)=x satisfaz
(1-x)cdot0 + xcdot1 - x=0,
e que y2(x)=e^x satisfaz
(1-x)e^x + x e^x - e^x=0.
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yh(x)=C1,x + C2,e^x

Passo 3

Para aplicar variação de parâmetros escrevemos a equação em forma normal
y'' + x1 - x,y' - 11 - x,y = 1 - x
Chamemos g(x)=1-x. O particular será
yp(x)=u1(x),x + u2(x),e^x
com as condições
u1'(x),x + u2'(x),e^x = 0, u1'(x),x' + u2'(x),e^x' = g(x),/,(1)

Passo 4

O Wronskiano de x,e^x é
W(x)= x & e^x 1 & e^x = x e^x - e^x = (x-1)e^x
As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'(x) = -g(x),y2(x)W(x) = -(1-x)e^x(x-1)e^x =1, u2'(x) = g(x),y1(x)W(x) = (1-x),x(x-1)e^x =-xe^x

Passo 5

Integramos para achar u1 e u2:
u1(x)=integral 1,dx = x, u2(x)=integral -x e^-x,dx
Fazendo integração por partes em integral x e^-xdx obtemos
integral x e^-xdx = -x e^-x - e^-x + const,
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u2(x) = -l(-x e^-x - e^-xr) = x e^-x + e^-x

Passo 6

Substituindo em yp = u1,x + u2,e^x temos
yp(x) = xcdot x + l(x e^-x+e^-xr),e^x = x^2 + (x+1)
O termo linear em x pode ser absorvido em C1x, então tomamos como particular simplificado
yp(x)=x^2+1

Resposta

A solução geral é
boxedy(x)=C1,x + C2,e^x + x^2 + 1

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