Use a definição de integral, por somas de Riemann, e a interpretação geométrica desta para calcular o limite abaixo
lim n infty 2n sumi=1^n raiz1-(2 in-1)^2

Passo 1

O enunciado pede
L = limntoinfty 2n sumi=1^n raiz1-l(tfrac2in-1r)^2,
e diz para usarmos a definição de integral via soma de Riemann e sua interpretação geométrica. Vamos reconhecer essa soma como uma aproximação de uma integral no intervalo [0,1].

Passo 2

Definimos xi = tfracin, de modo que De<a x = tfrac1n. A soma torna-se
2nsumi=1^n raiz1-(2xi-1)^2 = sumi=1^n l[2raiz1-(2xi-1)^2r]De<a x
e, pelo conceito de soma de Riemann, no limite ntoinfty isso converge para a integral
integral0^1 2raiz1-(2x-1)^2,dx

Passo 3

Para simplificar essa integral, fazemos a mudança de variável
t = 2x-1, dt = 2,dx, e quando x=0to t=-1,;x=1to t=1
Assim,
integral0^1 2raiz1-(2x-1)^2,dx = integral-1^1 raiz1-t^2,dt

Passo 4

A integral
integral-1^1 raiz1-t^2,dt
é exatamente a área sob a semicircunferência de raio 1 (equação y=raiz1-t^2). Essa área é metade da área do círculo de raio 1, isto é,
picdot1^22 = pi2

Resposta

pi2

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