Determinar o domínio das funções:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função $ y = f(x) = e^{\frac{x}{\sqrt{\ln(5 - x^{2})}}} $.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar as partes da função que podem restringir os valores de $ x $:
- Logaritmo Natural ($ \ln $): O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
- Raiz Quadrada ($ \sqrt{\ } $): O que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
- Denominador: Não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Vamos resolver passo a passo considerando essas restrições.
Passo 2
Primeiro, analisamos o argumento do logaritmo:
Para o logaritmo natural ser definido:
Resolvendo essa inequação:
Então, inicialmente, $ x $ deve estar no intervalo aberto $ (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) $.
Passo 3
Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não negativo:
Para a raiz quadrada ser real:
Resolvendo a inequação:
Então, agora refinamos o intervalo para $ x $ estar entre $ -2 $ e $ 2 $.
Passo 4
Além disso, devemos garantir que o denominador não seja zero:
Isso acontece quando:
Portanto, excluímos os pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $ do domínio.
Resposta
O domínio da função é o intervalo aberto $ (-2, 2) $.