Determinar o domínio das funções:
y=f(x)=e^xraizln (5-x^2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos determinar o domínio da função $ y = f(x) = e^{\frac{x}{\sqrt{\ln(5 - x^{2})}}} $.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de $ x $ para os quais a função está definida. Para resolver isso, vamos analisar as partes da função que podem restringir os valores de $ x $:
  1. Logaritmo Natural ($ \ln $): O argumento do logaritmo deve ser maior que zero.
  2. Raiz Quadrada ($ \sqrt{\ } $): O que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero.
  3. Denominador: Não pode ser zero, pois divisão por zero é indefinida.
Vamos resolver passo a passo considerando essas restrições.

Passo 2

Primeiro, analisamos o argumento do logaritmo:
ln(5 - x^2)
Para o logaritmo natural ser definido:
5 - x^2 > 0
Resolvendo essa inequação:
5 > x^2
x^2 < 5
-raiz5 < x < raiz5
Então, inicialmente, $ x $ deve estar no intervalo aberto $ (-\sqrt{5}, \sqrt{5}) $.

Passo 3

Agora, vamos garantir que o que está dentro da raiz quadrada seja não negativo:
raizln(5 - x^2)
Para a raiz quadrada ser real:
ln(5 - x^2) >= 0
Resolvendo a inequação:
ln(5 - x^2) >= 0
5 - x^2 >= e^0
5 - x^2 >= 1
-x^2 >= -4
x^2 <= 4
-2 <= x <= 2
Então, agora refinamos o intervalo para $ x $ estar entre $ -2 $ e $ 2 $.

Passo 4

Além disso, devemos garantir que o denominador não seja zero:
raizln(5 - x^2) neq 0
Isso acontece quando:
ln(5 - x^2) neq 0
5 - x^2 neq e^0
5 - x^2 neq 1
x^2 neq 4
x neq pm 2
Portanto, excluímos os pontos $ x = -2 $ e $ x = 2 $ do domínio.

Resposta

O domínio da função é o intervalo aberto $ (-2, 2) $.
(-2, 2)

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