Mesmo que o exercício anterior, mas considerando tempeatura inicial:
u(x, 0)= 0, & 0 <= x<10 50, & 10 <= x <= 30 0, & 30

Passo 1

O problema é o mesmo do exercício anterior: resolver a equação do calor ut = uxx num bastão de comprimento L=40 com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(40,t)=0 e a nova condição inicial em forma de degrau centralizado, ou seja, a gente vai usar separação de variáveis e expandir u(x,0) em série de senos.

Passo 2

A solução geral por separação de variáveis, atendendo às condições de contorno, é
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,sinl(tfracnpi x40r),e^-l(tfracnpi40r)^2t
O que falta é achar os coeficientes Bn usando a condição inicial.

Passo 3

Os coeficientes vêm da fórmula da série de senos numa função em [0,40] com BCs nulos:
Bn = 240integral0^40u(x,0),sinl(tfracnpi x40r)dx
Como u(x,0)=0 em [0,10) e (30,40], só contribui o intervalo [10,30] onde u=50.

Passo 4

Substituindo u(x,0)=50 em [10,30]:
Bn = 240integral10^3050,sinl(tfracnpi x40r)dx = 10040integral10^30sinl(tfracnpi x40r)dx
Vamos calcular essa integral:

Passo 5

Calculando
integral10^30sinl(tfracnpi x40r)dx = l[-40npicosl(tfracnpi x40r)r]10^30 = 40npil[cos(tfracnpi4) - cos(tfrac3npi4)r]
Logo

Passo 6

Substituindo de volta em Bn:
Bn = 10040cdot40npil[cos(tfracnpi4) - cos(tfrac3npi4)r] = 100npil[cos(tfracnpi4) - cos(tfrac3npi4)r]

Passo 7

Como cos(3npi/4)=(-1)^ncos(npi/4), dá para simplificar ainda mais se quiser, mas já temos um expressão válida para Bn.

Passo 8

Portanto, a solução final fica:
u(x,t)=sumn=1^infty100npil[cosl(tfracnpi4r)-cosl(tfrac3npi4r)r]sinl(tfracnpi x40r)expl(-l(tfracnpi40r)^2tr)

Resposta

u(x,t)=sumn=1^infty100npil[cosl(tfracnpi4r)-cosl(tfrac3npi4r)r]sinl(tfracnpi x40r),e^-l(tfracnpi40r)^2t

Exercícios relacionados