Mesmo que o exercício anterior, mas considerando tempeatura inicial:
Passo 1
O problema é o mesmo do exercício anterior: resolver a equação do calor ut = uxx num bastão de comprimento L=40 com condições de contorno homogêneas u(0,t)=u(40,t)=0 e a nova condição inicial em forma de degrau centralizado, ou seja, a gente vai usar separação de variáveis e expandir u(x,0) em série de senos.
Passo 2
A solução geral por separação de variáveis, atendendo às condições de contorno, é
u(x,t)=sumn=1^inftyBn,sinl(tfracnpi x40r),e^-l(tfracnpi40r)^2t
O que falta é achar os coeficientes Bn usando a condição inicial.
Passo 3
Os coeficientes vêm da fórmula da série de senos numa função em [0,40] com BCs nulos:
Bn = 240integral0^40u(x,0),sinl(tfracnpi x40r)dx
Como u(x,0)=0 em [0,10) e (30,40], só contribui o intervalo [10,30] onde u=50.