Seja f(x)=\left(x^{2}-25\right) /(x-5).
Calcule os limites indicados se existirem:
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} f(x).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{x^{2}-25}{x-5} e pede o limite à esquerda \lim_{x\to 5^{-}} f(x). Informações relevantes: f(x) está escrita como uma fração com numerador x^{2}-25 e denominador x-5; o ponto x=5 torna o denominador zero, portanto f(5) não está definida na forma dada. A pergunta é: qual é o valor que f(x) se aproxima quando x tende para 5 por valores menores que 5?

Passo 2

Vamos olhar para o numerador e fatorá-lo. Uma técnica comum é reconhecer diferença de quadrados:
x^{2}-25 = (x-5)(x+5).
Expliquei: diferença de quadrados significa que a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b); aqui a=x e b=5. Essa fatoração é válida para qualquer x.

Passo 3

Substituindo a fatoração no f(x) obtemos, para x\neq 5,
f(x)=\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}.
Como x\neq 5 (quando estamos calculando limites próximos a 5, mas não exatamente em 5), podemos cancelar o fator comum (x-5), resultando em
f(x)=x+5\qquad\text{para }x\neq 5.
Observação didática: o cancelamento é permitido porque estamos estudando o comportamento quando x se aproxima de 5, não o valor em 5 em si; o ponto x=5 continua sendo uma descontinuidade removível.

Passo 4

Agora aplicamos o conceito de limite lateral. \lim_{x\to 5^{-}} f(x) significa olhar os valores de f(x) quando x se aproxima de 5 vindo da esquerda (valores menores que 5). Como para x próximos de 5 (mas diferentes de 5) temos f(x)=x+5, o limite lateral é o mesmo que
\lim_{x\to 5^{-}}(x+5).

Passo 5

Para funções polinomiais ou funções simples como x+5, o limite ao aproximar-se de um ponto é obtido por substituição direta. Portanto
\lim_{x\to 5^{-}}(x+5)=5+5=10.
Explicação: não há comportamento diferente à esquerda (como explosão para \pm\infty ou oscilação); é uma reta, então tanto pela esquerda quanto pela direita tende ao mesmo valor.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: embora f(5) não esteja definida (denominador zero), o limite à esquerda existe e vale 10. Em provas, ao ver uma fração com fator comum no numerador e denominador, fatorar e cancelar (quando possível) é o caminho rápido para achar limites; lembre-se sempre de notar que a simplificação vale apenas para x\neq valor que zera o denominador.

Resposta

10

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