Seja
.
Calcule os limites indicados se existirem:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o limite à esquerda
. Informações relevantes:
está escrita como uma fração com numerador
e denominador
; o ponto
torna o denominador zero, portanto
não está definida na forma dada. A pergunta é: qual é o valor que
se aproxima quando
tende para
por valores menores que
?
Passo 2
Vamos olhar para o numerador e fatorá-lo. Uma técnica comum é reconhecer diferença de quadrados:
Expliquei: diferença de quadrados significa que
; aqui
e
. Essa fatoração é válida para qualquer
.
Passo 3
Substituindo a fatoração no
obtemos, para
,
Como
(quando estamos calculando limites próximos a 5, mas não exatamente em 5), podemos cancelar o fator comum
, resultando em
Observação didática: o cancelamento é permitido porque estamos estudando o comportamento quando
se aproxima de
, não o valor em
em si; o ponto
continua sendo uma descontinuidade removível.
Passo 4
Agora aplicamos o conceito de limite lateral.
significa olhar os valores de
quando
se aproxima de
vindo da esquerda (valores menores que
). Como para
próximos de
(mas diferentes de
) temos
, o limite lateral é o mesmo que
Passo 5
Para funções polinomiais ou funções simples como
, o limite ao aproximar-se de um ponto é obtido por substituição direta. Portanto
Explicação: não há comportamento diferente à esquerda (como explosão para
ou oscilação); é uma reta, então tanto pela esquerda quanto pela direita tende ao mesmo valor.
Passo 6
Interpretação final e dica de prova: embora
não esteja definida (denominador zero), o limite à esquerda existe e vale
. Em provas, ao ver uma fração com fator comum no numerador e denominador, fatorar e cancelar (quando possível) é o caminho rápido para achar limites; lembre-se sempre de notar que a simplificação vale apenas para
valor que zera o denominador.