Considere o problema da partícula na caixa unidimensional com as paredes localizadas em -a e a. Mostre que as energias são iguais àquelas de uma caixa com paredes localizadas em 0 e 2 a. Mostre também que, no entanto, as funções de onda não são as mesmas e nesse caso são dadas por
\begin{array}{rlr} \psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1 / 2}} \operatorname{sen} \frac{n \pi x}{2 a} & & \text { se n é par } \\\ \psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1 / 2}} \cos \frac{n \pi x}{2 a} & & \text { se n é ímpar } \end{array}ééí
É relevante o fato de que as funções de onda parecem depender se as paredes estão localizadas em \pm a ou 0 e 2 a ?
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo x ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede para mostrar que as energias de uma partícula no poço infinito unidimensional com paredes em -a e a são iguais às energias do poço com paredes em 0 e 2a.
  • Pede para mostrar que, embora as energias coincidam, as funções de onda não são as mesmas e que, no caso do poço [-a,a], as autostados podem ser escritos como
\psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\sin\frac{n\pi x}{2a}\quad\text{se \(n\) é par,}é
\psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\cos\frac{n\pi x}{2a}\quad\text{se \(n\) é ímpar.}éí
  • Pede ainda um comentário: é relevante (experimentalmente) que as funções de onda pareçam depender da escolha da origem do eixo x? Ou seja: observáveis dependem da escolha da origem?
Informações relevantes dadas (assumidas típicas do problema):
  • Potencial V(x)=0 para -a<x<a e V(x)=\infty fora desse intervalo (poço infinito).
  • Condições de contorno: \psi(-a)=0 e \psi(a)=0.
  • Massa da partícula chamo de M (constante), e usamos a equação de Schrödinger independente do tempo usual para partícula livre dentro do poço.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger dentro do poço e introduzindo k.
Dentro do poço -a<x<a o potencial é nulo, então a equação de Schrödinger independente do tempo é a equação de autovalores da energia para uma partícula livre:
-\frac{\hbar^{2}}{2M}\frac{d^{2}\psi(x)}{dx^{2}}=E\psi(x).
É conveniente definir o número de onda k por
k^{2}=\frac{2M E}{\hbar^{2}},
de modo que a equação fica
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+k^{2}\psi=0.
Esta é uma ODE de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é conhecida — vou mostrar isso no próximo passo.

Passo 3

Solução geral da equação diferencial e interpretação das constantes.
A solução geral da equação
\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+k^{2}\psi=0
é uma combinação linear de senos e cossenos:
\psi(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx),
onde A e B são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno. Explico rapidamente de onde vem: a equação tem raízes complexas \pm ik e as combinações reais correspondem a \sin(kx) e \cos(kx). Essas funções oscilam e são as que descrevem as possíveis formas da função de onda dentro do poço.

Passo 4

Aplicando as condições de contorno [\psi(-a)=0) e \psi(a)=0 e obtendo as equações para A e B.
Usando \psi(a)=0 e \psi(-a)=0 na forma geral:
\psi(a)=A\sin(ka)+B\cos(ka)=0,
\psi(-a)=A\sin(-ka)+B\cos(-ka)=-A\sin(ka)+B\cos(ka)=0.
Temos assim o sistema
\begin{cases} A\sin(ka)+B\cos(ka)=0,\\[4pt] - A\sin(ka)+B\cos(ka)=0. \end{cases}
Somando as duas equações obtemos
2B\cos(ka)=0 \quad\Rightarrow\quad B\cos(ka)=0.
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
2A\sin(ka)=0 \quad\Rightarrow\quad A\sin(ka)=0.
Essas duas condições implicam que, para existir solução não-trivial (A,B)\neq(0,0)\], devemos ter uma das duas possibilidades: \(\sin(ka)=0 ou \cos(ka)=0. Cada uma gera uma família de estados; vamos tratar separadamente.]

Passo 5

Caso 1: \sin(ka)=0. Quantização de k e formas das funções de onda (família seno).
Se \sin(ka)=0 então
ka=m\pi,\qquad m\in\mathbb{Z}.
Descartamos m=0 porque daria \psi\equiv 0. Para m=1,2,\dots temos
k=\frac{m\pi}{a}.
Da condição B\cos(ka)=0 e como \cos(ka)=\cos(m\pi)=(-1)^m\neq 0 para inteiro m, segue B=0. Logo as funções de onda são da forma
\psi(x)=A\sin\!\bigg(\frac{m\pi}{a}x\bigg).
Agora normalizamos: a constante A é escolhida para que
\int_{-a}^{a}|\psi(x)|^{2}dx=1.
Calculemos
\int_{-a}^{a}\sin^{2}\!\bigg(\frac{m\pi}{a}x\bigg)dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin\!\big(\tfrac{2m\pi}{a}x\big)}{4m\pi/a}\right]_{-a}^{a}=a.
Portanto A=1/\sqrt{a}. Assim essa família fica
\psi_{m}^{(\text{seno})}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\sin\!\bigg(\frac{m\pi}{a}x\bigg).
A energia correspondente é
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2M}=\frac{\hbar^{2}}{2M}\left(\frac{m\pi}{a}\right)^{2} =\frac{\hbar^{2}\pi^{2}m^{2}}{2M a^{2}}.
Agora observe o seguinte reindexamento útil para comparar com o poço de largura 2a: escrevendo m= n/2 (ou mais simples, note que m inteiro positivo dá n=2m par), então para n par n=2m a energia pode ser escrita como
E=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{8 M a^{2}},
que é exatamente a forma das energias para um poço de largura L=2a com índice n par (vou mostrar isso explicitamente após tratar a outra família).

Passo 6

Caso 2: \cos(ka)=0. Quantização de k e formas das funções de onda (família cosseno).
Se \cos(ka)=0 então
ka=\frac{(2m+1)\pi}{2},\qquad m=0,1,2,\dots
Logo
k=\frac{(2m+1)\pi}{2a}.
Da condição A\sin(ka)=0 e como agora \sin(ka)=\sin\!\big(\tfrac{(2m+1)\pi}{2}\big)\neq0, segue A=0. Assim as funções de onda são
\psi(x)=B\cos\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi}{2a}x\bigg).
Normalizando igual ao caso anterior:
\int_{-a}^{a}\cos^{2}\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi}{2a}x\bigg)dx=a,
logo B=1/\sqrt{a}. Assim obtemos
\psi_{m}^{(\text{coss})}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\cos\!\bigg(\frac{(2m+1)\pi}{2a}x\bigg).
A energia vale
E=\frac{\hbar^{2}k^{2}}{2M}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}(2m+1)^{2}}{8 M a^{2}}.
Se definirmos n=2m+1 (índice n ímpar), reescrevemos
E=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{8 M a^{2}}.

Passo 7

Unificando as famílias e comparando com o poço [0,2a].
Juntando os dois casos temos níveis de energia enumerados por um índice n=1,2,3,\dots tais que
E_{n}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{8 M a^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
  • Para n ímpar a função de onda correspondente é uma função cosseno
\psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\cos\!\bigg(\frac{n\pi}{2a}x\bigg)\quad(\text{\(n\) ímpar}),í
pois n=2m+1 dá a família cosseno.
  • Para n par a função de onda correspondente é uma função seno
\psi_{n}(x)=\frac{1}{a^{1/2}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi}{2a}x\bigg)\quad(\text{\(n\) par}),
pois n=2m dá a família seno.
Agora compare com o poço de largura L=2a situado em [0,2a]. Lá os autovalores são
E_{n}^{(0,2a)}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{2M L^{2}}=\frac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{8 M a^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots
que coincide exatamente com o espectro que acabamos de obter. Portanto as energias são as mesmas em ambas as formulações.

Passo 8

Por que as funções de onda não são idênticas, e como relacioná‑las via translação.
No poço [0,2a] os autostados (com a origem em 0) têm a forma
\phi_{n}(y)=\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi}{2a}y\bigg),\qquad 0<y<2a,
com \phi_{n}(0)=\phi_{n}(2a)=0. Se agora fazemos a mudança de variável y=x+a (ou seja, deslocamos a origem de [-a,a] para [0,2a]), obtemos a relação
\phi_{n}(x+a)=\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi}{2a}(x+a)\bigg) =\sqrt{\frac{1}{a}}\sin\!\bigg(\frac{n\pi x}{2a}+\frac{n\pi}{2}\bigg).
Usando a identidade \sin(\theta+\tfrac{n\pi}{2}) vemos que, dependendo da paridade de n, \phi_{n}(x+a) será proporcional a \sin ou a \cos de \tfrac{n\pi x}{2a}. Concretamente:
  • Se n é ímpar, \sin(\tfrac{n\pi x}{2a}+\tfrac{n\pi}{2}) é (até sinal) \cos(\tfrac{n\pi x}{2a}).
  • Se n é par, \sin(\tfrac{n\pi x}{2a}+\tfrac{n\pi}{2}) é (até sinal) \sin(\tfrac{n\pi x}{2a}).
Por isso as funções de onda no intervalo centrado [-a,a] aparecem naturalmente como combinações com simetria par (cosseno) e ímpar (seno), enquanto no intervalo [0,2a] todas são senos em relação à origem 0. São a mesma família de autovalores e autovetores relacionadas por translação do eixo x; apenas a representação explícita muda conforme a escolha da origem. Em resumo: as funções de onda num sistema traduzido não são numericamente iguais como funções de x, mas estão diretamente relacionadas por \psi_{n}^{[-a,a]}(x)=\phi_{n}^{[0,2a]}(x+a) (até um sinal global que não importa).

Passo 9

Discussão física: as observáveis dependem da origem?
Explicando de forma direta e prática:
  • Quantidades observáveis como as energias \{E_{n}\} são invariantes por translação do sistema de coordenadas: deslocar a origem não muda os níveis de energia — já provamos que as séries de E_{n} coincidem.
  • A densidade de probabilidade |\psi(x)|^{2} no poço centrado é ligada à densidade no poço deslocado por |\psi_{[-a,a]}(x)|^{2}=|\phi_{[0,2a]}(x+a)|^{2}. Assim quaisquer probabilidades (por exemplo, a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa região física do poço) são as mesmas, desde que se comparem regiões físicas correspondentes — não importa onde eu marque x=0.
  • Um sinal global multiplicativo (fator de fase real \pm1 ou fase complexa e^{i\alpha}) não altera observáveis; por isso diferenças de sinais entre seno e cosseno ou deslocamentos por fases não têm efeito físico.
Conclusão física simples: não é relevante experimentalmente se você escolhe o poço em [-a,a] ou em [0,2a]; a escolha da origem é apenas uma conveniência matemática. As energias e as probabilidades (as coisas que você mede) são invariantes.

Passo 10

Recapitulando de forma prática para a prova (dicas rápidas):
  • Resolver a EDO \psi''+k^{2}\psi=0, aplicar \psi nula nas duas fronteiras, somar e subtrair equações para achar \sin(ka)=0 ou \cos(ka)=0.
  • Normalizar lembrando que \int_{-a}^{a}\sin^{2}(\alpha x)\,dx=a quando \alpha é m\pi/a inteiro (e análogo para cosseno com os mesmos k).
  • Relacione índices para mostrar igualdade das energias com L=2a (mapeamento n=2m e n=2m+1).
  • Lembre: escolha da origem não muda resultados físicos; apenas muda a forma matemática das autossoluções.

Resposta

E_{n}=\dfrac{\hbar^{2}\pi^{2}n^{2}}{8 M a^{2}}\quad(n=1,2,3,\dots)
\psi_{n}(x)=\dfrac{1}{a^{1/2}}\sin\!\bigg(\dfrac{n\pi x}{2a}\bigg)\\ \text{se \(n é par},\quad
\psi_{n}(x)=\dfrac{1}{a^{1/2}}\cos!\bigg(\dfrac{n\pi x}{2a}\bigg)\ se n é ímpar
)
As propriedades experimentais (energias, probabilidades) não dependem da escolha da origem; a diferença é apenas uma mudança de coordenadas (translação) nas funções de onda.

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