Considere o problema da partícula na caixa unidimensional com as paredes localizadas em
e
. Mostre que as energias são iguais àquelas de uma caixa com paredes localizadas em 0 e
. Mostre também que, no entanto, as funções de onda não são as mesmas e nesse caso são dadas por
É relevante o fato de que as funções de onda parecem depender se as paredes estão localizadas em
ou 0 e
?
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo
?
Você acha que as propriedades observadas experimentalmente dependem da escolha feita para a origem do eixo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede para mostrar que as energias de uma partícula no poço infinito unidimensional com paredes em
e são iguais às energias do poço com paredes em e . - Pede para mostrar que, embora as energias coincidam, as funções de onda não são as mesmas e que, no caso do poço
, as autostados podem ser escritos como
- Pede ainda um comentário: é relevante (experimentalmente) que as funções de onda pareçam depender da escolha da origem do eixo
? Ou seja: observáveis dependem da escolha da origem?
Informações relevantes dadas (assumidas típicas do problema):
- Potencial
para e fora desse intervalo (poço infinito). - Condições de contorno:
e . - Massa da partícula chamo de
(constante), e usamos a equação de Schrödinger independente do tempo usual para partícula livre dentro do poço.
Passo 2
Escrevendo a equação de Schrödinger dentro do poço e introduzindo
.
Dentro do poço
o potencial é nulo, então a equação de Schrödinger independente do tempo é a equação de autovalores da energia para uma partícula livre:
É conveniente definir o número de onda
por
de modo que a equação fica
Esta é uma ODE de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral é conhecida — vou mostrar isso no próximo passo.
Passo 3
Solução geral da equação diferencial e interpretação das constantes.
A solução geral da equação
é uma combinação linear de senos e cossenos:
onde
e
são constantes a serem determinadas pelas condições de contorno. Explico rapidamente de onde vem: a equação tem raízes complexas
e as combinações reais correspondem a
e
. Essas funções oscilam e são as que descrevem as possíveis formas da função de onda dentro do poço.
Passo 4
Aplicando as condições de contorno [\psi(-a)=0) e
e obtendo as equações para
e
.
Usando
e
na forma geral:
Temos assim o sistema
Somando as duas equações obtemos
Subtraindo a segunda da primeira obtemos
Essas duas condições implicam que, para existir solução não-trivial
ou
. Cada uma gera uma família de estados; vamos tratar separadamente.]
Passo 5
Caso 1:
. Quantização de
e formas das funções de onda (família seno).
Se
então
Descartamos
porque daria
. Para
temos
Da condição
e como
para inteiro
, segue
. Logo as funções de onda são da forma
Agora normalizamos: a constante
é escolhida para que
Calculemos
Portanto
. Assim essa família fica
A energia correspondente é
Agora observe o seguinte reindexamento útil para comparar com o poço de largura
: escrevendo
(ou mais simples, note que
inteiro positivo dá
par), então para
par
a energia pode ser escrita como
que é exatamente a forma das energias para um poço de largura
com índice
par (vou mostrar isso explicitamente após tratar a outra família).
Passo 6
Caso 2:
. Quantização de
e formas das funções de onda (família cosseno).
Se
então
Logo
Da condição
e como agora
, segue
. Assim as funções de onda são
Normalizando igual ao caso anterior:
logo
. Assim obtemos
A energia vale
Se definirmos
(índice
ímpar), reescrevemos
Passo 7
Unificando as famílias e comparando com o poço
.
Juntando os dois casos temos níveis de energia enumerados por um índice
tais que
- Para
ímpar a função de onda correspondente é uma função cosseno
pois
dá a família cosseno.
- Para
par a função de onda correspondente é uma função seno
pois
dá a família seno.
Agora compare com o poço de largura
situado em
. Lá os autovalores são
que coincide exatamente com o espectro que acabamos de obter. Portanto as energias são as mesmas em ambas as formulações.
Passo 8
Por que as funções de onda não são idênticas, e como relacioná‑las via translação.
No poço
os autostados (com a origem em
) têm a forma
com
. Se agora fazemos a mudança de variável
(ou seja, deslocamos a origem de
para
), obtemos a relação
Usando a identidade
vemos que, dependendo da paridade de
,
será proporcional a
ou a
de
. Concretamente:
- Se
é ímpar, é (até sinal) . - Se
é par, é (até sinal) .
Por isso as funções de onda no intervalo centrado
aparecem naturalmente como combinações com simetria par (cosseno) e ímpar (seno), enquanto no intervalo
todas são senos em relação à origem
. São a mesma família de autovalores e autovetores relacionadas por translação do eixo
; apenas a representação explícita muda conforme a escolha da origem. Em resumo: as funções de onda num sistema traduzido não são numericamente iguais como funções de
, mas estão diretamente relacionadas por
(até um sinal global que não importa).
Passo 9
Discussão física: as observáveis dependem da origem?
Explicando de forma direta e prática:
- Quantidades observáveis como as energias
são invariantes por translação do sistema de coordenadas: deslocar a origem não muda os níveis de energia — já provamos que as séries de coincidem. - A densidade de probabilidade
no poço centrado é ligada à densidade no poço deslocado por . Assim quaisquer probabilidades (por exemplo, a probabilidade de encontrar a partícula em uma certa região física do poço) são as mesmas, desde que se comparem regiões físicas correspondentes — não importa onde eu marque . - Um sinal global multiplicativo (fator de fase real
ou fase complexa ) não altera observáveis; por isso diferenças de sinais entre seno e cosseno ou deslocamentos por fases não têm efeito físico.
Conclusão física simples: não é relevante experimentalmente se você escolhe o poço em
ou em
; a escolha da origem é apenas uma conveniência matemática. As energias e as probabilidades (as coisas que você mede) são invariantes.
Passo 10
Recapitulando de forma prática para a prova (dicas rápidas):
- Resolver a EDO
, aplicar nula nas duas fronteiras, somar e subtrair equações para achar ou . - Normalizar lembrando que
quando é inteiro (e análogo para cosseno com os mesmos ). - Relacione índices para mostrar igualdade das energias com
(mapeamento e ). - Lembre: escolha da origem não muda resultados físicos; apenas muda a forma matemática das autossoluções.
Resposta
é par},\quad
\psi_{n}(x)=\dfrac{1}{a^{1/2}}\cos!\bigg(\dfrac{n\pi x}{2a}\bigg)\ se
)
As propriedades experimentais (energias, probabilidades) não dependem da escolha da origem; a diferença é apenas uma mudança de coordenadas (translação) nas funções de onda.